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一、創(chuàng)設情景

1、學習直線與圓時，對圓的認識經(jīng)歷了以下過程

2、學習了橢圓的定義，也有類似的思考

二、建構數(shù)學

1、橢圓標準方程的推導

如圖，建立直角坐標系xOy，使x軸經(jīng)過點F₁、F₂，并且O與線段F₁F₂的中點重合.

設M（x,y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c(c＞0)，

那么焦點F₁、F₂的坐標分別是（－c,0），(c,0).

又設M與F₁和F₂的距離的和等于常數(shù)2a.

由橢圓定義，橢圓就是集合P=｛MㄏMF₁+MF₂=2a｝

因為MF₁=，MF₂=

所以得：+=2a整理得：（a²－c²）x²+a²y²=a²(a²－c²).

由橢圓的定義可知：2a＞2c，即a＞c，故a²－c²＞0.

令a²－c²=b²，其中b＞0，代入上式整理得：

2、橢圓的標準方程：

標準方程

不

同

點

圖

形

焦點坐標

兩軸上截距

(±a,0)與(0,±a)

(0,±a)與(±b,0)

相

同

點

定   義

平面內(nèi)到兩個定點F₁、F₂的距離的和等于

常數(shù)（大于F₁F₂）的點的軌跡

a、b、c的關系

焦點位置的判斷

分母哪個大，焦點就在哪個軸上

橢圓的一般方程：mx²+ny²=1    (m,n∈R⁺,m≠n)

三、數(shù)學運用

1、例1. 已知一個運油車上的儲油罐截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的兩個點到兩個焦點的距離的和為3m，求這個橢圓的標準方程。

分析:

橢圓標準方程為：

例2、已知方程(2-k)x²+ky²=2k-k²表示焦點在x軸上的橢圓，求k的范圍

解：原方程可以化為+=1，k>2-k>0,故1<k<2

  練習:課本28頁1，2，3

四、回顧總結

通過本節(jié)學習，要求理解并掌握橢圓定義，并熟練掌握橢圓的兩種標準方程

作業(yè)：課本第28頁1、2、4

[補充習題]

1、方程=10,化簡的結果是 __________   

2、如圖，F(xiàn)(3,0)是橢圓的一個焦點，且CF⊥x軸，OC∥AB,則橢圓的標準方程是_________

3、α，方程sinαx²+cosαy²=1表示焦點在x軸上的橢圓，則α的取值范圍為 _____

4、橢圓焦距為2，則m=________________

5、橢圓中a+c=10,a-c=4,則橢圓的方程為___________________________

6、 已知⊙C₁:x²+y²+4x=0,⊙C₂:x²+y²-4x-60=0,⊙M和定圓⊙C₁外切和⊙C₂內(nèi)切，求點M的軌跡方程

7*、在面積為l的△PMN中tgM＝1/2，tgN＝－2，建立適當?shù)淖鴺讼�，求出以M,N為焦點且過點P的橢圓方程.　　　　　　　　　　　　　　　　

[答案]1、

2、

3、（0，）

4、5或3

5、橢圓或

6、
　7*、　
　解法一:建立直角坐標系如圖:以MN所在直線為x軸,MN的垂直平分線為y軸。
設橢圓方程為：x²/a²＋y²/b²＝1 分別記M、N、P點的坐標為(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴ 由題設知　　 　　　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高為4c/3
　　∴  　　
　　∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝從而 b²=a²-c²=3.
解法二:同解法一得：∵ 點P在橢圓上,且a²=b²+c².　　　解得b²＝3　或　b²＝-1/3(舍去)a²=b²＋c²=15/4.故所求橢圓的方程為：4x²/15＋y²/3＝１

§2.2.1橢圓的標準方程(2)――標準方程的應用

教學目標：

教學重點：橢圓的定義與標準方程

教學難點：根據(jù)已知條件求橢圓的標準方程。

教學過程：

二、數(shù)學運用

例1求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點的橢圓的標準方程；

分析：可能是a,也可能是b,相應設方程、解方程得到橢圓方程為：5x²+4y²=1或4x²+5y²=1

變形：設橢圓的焦點為F₁，F(xiàn)₂,M為橢圓上任意一點，MF₁F₂能構成三角形，方程是什么？ MF₁>MF₂呢？

說明：①求出曲線后，要注意檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如果有不符合題意的點，應在所得方程后注明限制條件；

②要求學生對圓錐曲線的定義比較熟悉，這樣可以在求曲線軌跡方程時，簡化求解步驟，快速準確的用待定系數(shù)法求方程。

例2  將圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话�，求所得曲線得方程，并說明它是什么曲線？

解：[方法一]用相關點法：設所得曲線上任意一點得坐標為，圓上對應點的坐標為     因為    所以

[方法二]參數(shù)法：設圓上任意一點坐標為(2cosθ,2sinθ), 曲線上任意一點得坐標為,則

，消去θ得方程為

說明：在求解曲線軌跡的過程當中，使用到了利用中間變量求軌跡的方法，此中間變量可以是相關點法，也可以是參數(shù)法。

變式： 已知F是橢圓25x²+16y²=400在x軸上方的焦點，Q是此橢圓上任意一點，點P是的中點，求動點P的軌跡方程.（100x²+16（2y-3）²=400）

例3、已知P為橢圓上的一點，是焦點，,求面積S

解：S=PF₁.PF₂sinα，而F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁.PF₂cosα=(PF₁+PF₂)²-2PF₁.PF₂(1+cosα)

4c²=4a²-2PF₁.PF₂(1+cosα)PF₁.PF₂=2(a²-c²)=2b²,S=.2b²=

說明：橢圓的方程和定義有時要混合使用

練習：橢圓內(nèi)有一點A,F₁為左焦點，在橢圓上求一點P，使PF₁+PA取最值

（設F₂為右焦點，則PF₁+PA=2a+PA-PF₂,過A和F₂作直線與橢圓的交點即為所求）

三、回顧總結：

（1）橢圓的定義及標準方程；

（2）橢圓的標準方程有兩個；標準方程中的關系；

（3）用定義法、待定系數(shù)法、中間變量法求橢圓的方程

[補充習題]

   1、△ABC中，A(-6,0),B(6,0),求滿足下列條件的點C的軌跡方程。(1)BC、AB、AC成等差數(shù)列，且BC>AC_____________________;(2)AC、BC所在直線斜率乘積為-__________

   2、F₁,F₂為兩個焦點，過F₂的直線交橢圓于A、B兩點，AB=5,則AF₁+BF₁=____

   3、圓x²+y²=4上任意一點P作PA⊥x軸于A,PA的中點為M，則M的軌跡方程為______

   4、已知x軸上一定點A(1,0),Q為+y²=1上的動點，求AQ的中點M的軌跡方程

   5、F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點，A、B分別是橢圓與x軸的兩個交點，P為橢圓上任意一點。求證：以PF₂為直徑的圓與以AB為直徑的圓內(nèi)切

[答案]

1、(1)+=1，x<0,y≠0;(2)

2、11

3、x²+4y²=4

4、(2x-1)²+16y²=4

5、略

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(1)

1、知識與技能：掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點，掌握幾何意義以及的相互關系，初步學習利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。

2、過程與方法：利用曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法是學習解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生與形成的過程，不僅注意對研究結果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)；以自主探究為主，通過體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力。

3、情感、態(tài)度與價值觀：通過自主探究、交流合作使學生親身體驗研究的艱辛，從中體味合作與成功的快樂，由此激發(fā)其更加積極主動的學習精神和探索勇氣；通過觀察與思考，讓學生體會橢圓方程結構的和諧美和橢圓曲線的對稱美，培養(yǎng)學生的審美習慣和良好的思維品質(zhì)。

教學重點：橢圓的幾何性質(zhì)

教學難點：橢圓離心率與橢圓關系

教學過程：

1、橢圓的定義與標準方程

2、思想方法總結：利用平面直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理。

建立曲線方程的目的就是要用代數(shù)的方法研究幾何問題，本課就是要根據(jù)橢圓的標準方程去研究橢圓的幾何性質(zhì)。

在以前的學習中，我們已經(jīng)接觸到如何通過方程研究幾何問題，例如直線的平行與垂直，函數(shù)奇偶性中函數(shù)解析式的特征與圖象的對稱性的關系等等，請思考：

如何根據(jù)橢圓標準方程研究幾何性質(zhì)？

１、范圍：由標準方程可知，橢圓上的點的坐標（x,y）都適合不等式

橢圓位于直線和所圍成的矩形里．

即,

2、對稱性：  

從圖形上看：橢圓關于x軸、y軸、原點對稱。從方程上看： 

（1）把x換成-x方程不變，圖象關于y軸對稱；

（2）把y換成-y方程不變，圖象關于x軸對稱；

（3）把x換成-x，同時把y換成-y方程不變，圖象關于原點成中心對稱。

３、頂點：

令 x=0，得 y=？，說明橢圓與 y軸的交點？（-a,0）,(a,0)

令 y=0，得 x=？說明橢圓與 x軸的交點？(０,-b), (0,b)

(1)頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。

(2)長軸、短軸：線段、線段分別叫橢圓的長軸和短軸，

它們的長分別等于2a和2b；

(3)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

4、離心率：

橢圓的焦距與長軸長的比，叫做橢圓的離心率．

說明①因為所以．

②e越接近１，則c越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；

反之，e越接近于０，c越接近于０，從而b越接近于a，這時橢圓就接近于圓；

③當且僅當a=b時，c=0，這時兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A．

[對于上述性質(zhì)要求學生熟練掌握，并能由此推出焦點在y軸的橢圓標準方程的幾何性質(zhì)（要求學生自己歸納），并能根據(jù)橢圓方程得到相應性質(zhì)．]

三、數(shù)學運用

教材32頁練習1，2，3

例1、橢圓的一個焦點與兩頂點連成正三角形，則長軸是短軸的多少倍？

解答：根據(jù)對稱性和頂點性質(zhì)，一個焦點與短軸頂點的連線就是長半軸，原點、短軸的一個頂點、一個焦點構成一個直角三角形，a=b

變形1：上題中，離心率為__________？（）

變形2：橢圓短軸的一個頂點對兩個焦點的張角（或視角）為120⁰，離心率為____（）

例2、求橢圓（a>b>0）上點到左焦點F距離的最值

解：[方法一]設P(x,y)為橢圓上任意一點,則，PF²=(x+c)²+y²=x²+2cx+c²+b²(1-)=

x²+2cx+a²在-a≤x≤a上單調(diào)增，x=-a時PF²_min=(c-a)²,x=a時PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c反應在圖上正好為長軸的兩個頂點

[方法二]設P(acosθ,bsinθ),PF²=(acosθ+c)²+(bsinθ)²=c²cos²θ+2ca.cosθ+a²是cosθ的單調(diào)增函數(shù)，∴cosθ=-1時，PF²_min=(c-a)², cosθ=1時PF²_max=(a+c)²,∴PF_max=a+c,PF_min=a-c 反應在圖上正好為長軸的兩個頂點

    思考：到右焦點距離呢？

四、回顧總結

標準方程

圖象

范圍

對稱性

頂點

長軸、短軸

離心率

五、布置作業(yè)（A組題）課本第32頁感受理解1、3、4、5、8

   [補充習題]

1、(1)橢圓短軸的一個端點到一個焦點的距離為5，焦點到中心的距離為3，則橢圓的標準方程為__________________

(2)對稱軸為坐標軸的橢圓焦點F₁,F₂在x軸上，短軸的一個短點為B,△BF₁F₂周長為4+2，∠BF₁F₂=30⁰,則橢圓的方程為____________________

2、橢圓x²+ky²=1(0<k<1),k越接近___________時，橢圓越扁

3、我國發(fā)射的神州5號載人飛船運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距離地球表面m千米，遠地點距離地球表面n千米，地球的半徑為R,則該軌道的短軸長為_________

4、焦點在x軸上的橢圓與+=1有相同的離心率，則其方程的形式為__________

5、橢圓+=1的離心率為，則m=___________

6、已知橢圓對稱軸是坐標軸，O為原點，F(xiàn)為一個焦點，A為一個頂點，若橢圓的長軸為6，∠OFA=,求橢圓的方程

7、橢圓過點(3,0),離心率為，求橢圓的標準方程

8、求橢圓（a>b>0）上到點B(0,b)距離的最值

[解答] 1、（1）或；（2）;2、0;3、2

4、+=1;  5、3或; 6、或;7、或

8*、設P(x,y),當P與B重合時，PB取得最小值為0，另有

PB²=x²+(y-b)²=(1-)a²+y²-2by+b²=-y²-2by+a²+b²是y的二次函數(shù)，-b≤y≤b,不考慮定義域情況下函數(shù)的對稱軸為y=;若≤b，當 y=時PB²_max=;若>b，當 y=-b時PB²_max=4b²

總之，PB_min=0,PB_max=

§2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)(2)

教學目標：

教學重點、難點：離心率范圍的拼湊、左邊方法

教學過程：

一、復習引入

1、橢圓的性質(zhì)復習

2、練習教材P32練習題4，5

二、數(shù)學運用

例1、設P是橢圓（a＞b＞0）不在長軸上的一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的焦點，(1)什么情況下，P對F₁及F₂的張角最大,并求此時張角的余弦值；(2)若∠F₁PF₂=90°，求橢圓的率心率e的范圍

解：(1)設PF₁=m,PF₂=n,則m+n=2a,cos∠F₁PF₂===-1,而mn≤=a²，cos∠F₁PF₂≥-1，等號成立當且僅當m=n=a,即：P(0,±b)時，∠F₁PF₂最大，此時cos∠F₁PF₂=-1

(2)設短軸的一個頂點為B, ∠F₁BF₂≥90⁰，∠F₁BO≥45⁰，

 e≥，則離心率的范圍是≤e<1

    說明：以上方法的核心是拼湊定值，稱拼湊法

變形練習：如果∠F₁PF₂=120⁰，求e的范圍（≤e<1）

   例2、設P是橢圓（a＞b＞0）非長軸上的一點，A₁、A₂是橢圓長軸的兩個頂點，(1)什么情況下，P對A₁及A₂的張角最大,并求此時張角的正切值；(2)若∠A₁PA₂=120°，求橢圓的率心率e的范圍

   解：(1)設P(x,y),不妨設y>0, 則,設∠A₁PA₂=θ，則∠A₁+∠A₂=180⁰-θ,

tan(∠A₁+∠A₂)=-tanθ=，而tanA₁=,tanA₂=,代入tanθ=-，x²=a²(1-),tanθ===-是的增函數(shù)，當y=b時最大。同理當P為短軸頂點時，θ最大，此時tanθ=-

(2) ∠A₁BA₂≥120⁰, ∠A₁BO≥60⁰，≤e<1

說明：這一方法核心是通過坐標計算得出的，稱坐標法

練習：例題中若存在PA₁⊥PO，求離心率e的范圍（解答(,1)）

四、作業(yè)：P33----5,6,7,9,10

補充作業(yè)

1、過橢圓（a＞b＞0）的焦點且垂直于長軸的弦長為____________

2、線段AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，將AB五等份，過四個分點分別作AB的垂線交橢圓上半部于P₁,P₂,P₃,P₄四個點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，則PF₁+PF₂+PF₃+PF₄=_____________

3、過點(x₀,y₀)的任意直線與橢圓（a＞b＞0）有公共點，則(x₀,y₀)應該滿足關系式________________

4、設P是橢圓（a＞b＞0）P對兩個焦點的張角為60⁰，求橢圓的率心率e的范圍

5、設P是橢圓（a＞b＞0）非短軸上的一點，B₁、B₂是橢圓短軸的兩個頂點，若∠B₁PB₂=60°，求橢圓的率心率e的范圍

[答案]1、;    2、4a;     3、;    4、≤e<1;  5、≤e<1

                        2.2.2直線與橢圓

[教學目的]

[教學難點、重點]最值求法與差分法（本節(jié)是一個課件）

[教學流程]

（d=,特別的兩平行線ax+by+C_i=0間距離為

2、如何判斷直線與圓的位置關系？弦長如何確定？圓上點到直線距離最值呢？

(通過方程組解的個數(shù)或圓心到直線的距離d來確定，弦長為2,最值通過數(shù)形結合為|r±d|)

提出問題：直線與橢圓關系如何？進入主題――直線與橢圓

二、要點內(nèi)容

例1、求橢圓+=1上點到直線l:x-y+7=0距離的最值,并求出相應點的坐標

[分析思路一]與圓類似：將直線l平移，與橢圓相切時，切點到直線距離即為兩距離

解：[方法一]設與直線l平行的直線:y=x+c與橢圓+=1相切，代入橢圓方程得到：

25x²+32cx+16c²-144=0,△=(32c)²-4×25×(16c²-144)=0，解得c=±5，它們與直線l的距離即為橢圓上點到直線距離的最值，d_max==6,此時代入可以求得點P₂(,-),d_min==此時代入可以求得P₁(-,)

說明：這一方法的核心是數(shù)形結合，稱直線平移法

[分析思考二]能否通過直線上點的坐標直接求距離呢？

解：設P(4cosθ,3sinθ),它到直線l的距離d==

==，其中sinφ=,cosφ=

當sin(φ-θ)=1時，d_max==6,此時φ-θ=+2kπ，k∈Z,θ=--2kπ+φ，cosθ=sinφ=,sinθ=-cosφ=-，對應點P₂(,-)；同理當sin(φ-θ)=-1時，d_min==,此時φ-θ=-+2kπ，k∈Z,θ=-2kπ+φ，cosθ=-sinφ=-,sinθ=cosφ=，對應點P₁(-,)

   說明：這一方法中，θ稱參數(shù)，相應方法稱參數(shù)法。

   例2、已知橢圓+y²=1   (1)求過點P(, )且被P平分的弦的方程。(2)求斜率為2的平行弦的終點的軌跡方程

解：設弦的兩個端點為P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),則x₁²+2y₁²=2    x₂²+2y₂²=2兩式作差得到

(x₁-x₂)(x₁+x₂)-2(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,∵x₁≠x₂∴(x₁+x₂)+2 (y₁+y₂)=0

(1)由中點公式，x₁+x₂=1,y₁+y₂=1,而為直線的斜率k,∴1+2k=0,k=-,直線方程為y-=-(x-)即2x+4y-3=0,代入橢圓方程檢驗有△>0,∴弦的方程為2x+4y-3=0（在橢圓內(nèi)x₁²+2y₁²<2）

說明：這一方法稱差分法或點差法，適用于中點――弦的有關問題，其步驟為：

S1:設弦的端點坐標，代入曲線方程，作差

S2:根據(jù)=k, x₁+x₂=x₀,y₁+y₂=x₀

S3:得出相應解，并檢驗，必要時加條件限制

(2)設中點為(x,y),則x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y,=2,從而2x+2×2×2y=0即x+4y=0(x₁²+2y₁²<2)

練習：求過點(2,1)引直線與該橢圓交于B、C兩點，求BC中點的軌跡方程（此時=，方程x²+2y²-2x-2y=0(x²+2y²<1)）

2、涉及中點――弦問題時常用差分法

四、作業(yè)

1、橢圓+=1上一點P到直線l:3x-2y-16=0距離最短的點的坐標是____________

2、點P(x,y)為曲線C:上任意一點，θ∈，則的范圍是__________

3、橢圓C:x²+2y²=4.(1)直線l:y=x+1被C截得的弦中點坐標為________________

(2)與l平行的直線被C截得的弦中點的軌跡方程為_____________

(3)過點(1,1)作C的弦，其中點的方程為______________________________________

4、在橢圓x²+8y²=8上求一點P,使P到直線l:x-y+4=0的距離最小，求出點P的坐標

[答案]

1、(-,)

2、

3、(1)(-,);   (2)x+2y=0(x²+2y²<4)     (3)x²+2y²-x-2y=0(x²+2y²<4)

4、(-,)