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1．橢圓的定義是什么？

平面內與兩定點F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)(大于|F₁F₂|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F₁F₂|．

2．橢圓的標準方程是什么？

3．雙曲線的定義是什么？

平面內與兩定點F₁、F₂的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F₁F₂|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F₁、F₂叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

思考：1．若常數(shù)要等于|F₁F₂|，則圖形是什么？

      2．若常數(shù)要大于|F₁F₂|，能畫出圖形嗎？

3．定點F₁、F₂與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？（強調“在平面內”）

4．|MF₁|與|MF₂|哪個大？（當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|）

 (二)雙曲線的標準方程的推導方程（建――設――顯――代――化）

提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標系的？類比求橢圓標準方程的方法由學生來建立直角坐標系．

 (1)建系設點，以F₁F₂ 所在直線為x軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標系，設M（x，y）為雙曲線任一點，| F₁F₂ |=2c（c＞0）

(2)定集合：P=｛M||MF₁|－|MF₂|=±2a｝(2a＜2c）

(3)寫方程并化簡：－=±2a.=±2a＋ cx-a²=±a(c²－a²)x²+a²y²=a²(c²－a²)

∵2a＜2ca＞c＞0，∴可令c²－a²=b²(如圖)代入有： －=1（a＞0，b＞0）

 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的雙曲線的標準方程．

類比：橢圓的方程可以寫成mx²+ny²=1(m,n為正數(shù)，m≠n),雙曲線方程可以寫成什么形式？（mx²+ny²=1，mn<0）

練習：教材練習1，2（重在說明待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟）

（三）例題講解

例1 、方程8kx²-ky²=8

(1)若它表示一雙曲線方程，求k的范圍；(2)表示橢圓方程，求k的范圍；(3)與橢圓=1有公共焦點的橢圓，求k的值；

解：(1)k²>0,k≠0；    (2)k<0;     (3)k=1

例2、已知，兩地相距，一炮彈在某處爆炸，在處聽到炮彈爆炸聲的時間比在處遲2s，設聲速為．

 （1）爆炸點在什么曲線上？

 （2）求這條曲線的方程。

分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學原理：由聲速及，兩地聽到爆炸聲的時間差，即可知，兩地與爆炸點的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點的軌跡方程．

（解答： ）

思考：有幾個觀測點可以確定爆炸點的位置？（至少三個）

作業(yè)：教材P37----習題2.3(1)

[補充習題] 討論方程(k-1)x²+(2-k)y²=-k²+3k-2表示的曲線

解：k-1=0即k=1時，方程為y=0表示x軸；

2-k=0即k=2時，方程為x=0表示y軸

當k≠1且k≠2時，方程為+=1

   當2-k>k-1>0即1<k<時，方程表示焦點在x軸上的橢圓

當2-k=k-1>0即k=時，方程為x²+y²=,表示圓

當0<2-k<k-1即<k<2時，方程表示焦點在y軸上的橢圓

當2-k<0<k-1即k>2時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線

當k-1<0<2-k即k<1時，方程表示焦點在x軸上的雙曲線

[教后感想與作業(yè)情況]

§2．3．2　雙曲線的簡單幾何性質（1）――性質

[教學目標]

[教學重點]雙曲線的幾何性質及初步運用。

[教學難點]雙曲線的漸近線。

[教學過程] (一)復習提問引入新課：1．橢圓有哪些幾何性質，是如何探討的？2．雙曲線的兩種標準方程是什么？        下面我們類比橢圓的幾何性質來研究它的幾何性質．

(二)類比聯(lián)想得出性質(范圍、對稱性、頂點)   引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質的表格

思考：1、從雙曲線的圖形上，還能看出什么范圍？

（由雙曲線方程－=1（a＞0，b＞0）得到－＞0，（-）(+)>0,這樣或，對應區(qū)域為）

思考2：關于x軸、y軸、原點對稱的方程如何用式子表示？（一般的曲線C:f(x,y)=0也成立,即：對任意x,y，f(-x,y)=0則曲線C關于y軸對稱；f(x,-y)=0則曲線C關于x軸對稱;f(-x,-y)=0則曲線C關于原點對稱，用之常檢驗曲線的對稱性）

    (三)漸近線：雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內，那么從x,y的變化趨勢看，雙曲線與直線具有怎樣的關系呢？

根據對稱性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關系。雙曲線在第一象限的部分可寫成：

設M(x,y)是其上面的點，N(x,y_N)是直線y=上與M相同的橫坐標的點MN=y_N-y=-=；當x逐漸增大時，MN逐漸減小，x無限增大，MN接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．在其他象限內也可以證明類似的情況．

這樣，我們將稱雙曲線的漸近線。由漸進線可以大致作出雙曲線的圖形。特別的，當a=b時的雙曲線稱等軸雙曲線。

思考：等軸雙曲線的漸近線是什么？（y=±x）

 (四)離心率:與橢圓類似，將雙曲線焦距與實軸的比值稱此雙曲線的離心率，e=

  思考：橢圓的離心率反應橢圓的扁圓程度，雙曲線離心率反應什么呢？（由于==，這樣e越大，就越大雙曲線的開口就越開闊．所以離心率反應了雙曲線的開闊程度）

思考：雙曲線=1（a>0,b>0）有哪些基本性質？

課堂練習：教材P41----練習題

 [小結]雙曲線的基本性質，與橢圓不同的是加了漸近線

[作業(yè)]教材P41---習題2.3(2)1，2，3，4，8

[補充習題]

1、經過雙曲線上任一點，作平行于實軸的直線，與漸近線交于兩點，則___________；作平行于虛軸的直線，與漸近線交于兩點，則到的距離之積為定值， 。

2、求證：由雙曲線的一個焦點向一漸近線作垂線，垂線段長為定值，等于，并求垂足的橫坐標。

[答案]

1、a²,b²

2、證明：如圖2，設焦點，漸近線，即，

由點到直線的距離公式得：；

又過點且與漸近線垂直

的直線方程為:，

兩方程聯(lián)立解得交點坐標為，顯然該點的橫坐標。

教后感想與作業(yè)情況

                        2.3.2雙曲線性質（2）――離心率和漸近線

[教學目的]

[教學難點、重點]漸近線與雙曲線方程間關系

[教學過程]

   例1、(1)求等軸雙曲線的離心率；（2）一條雙曲線漸近線方程為y=±x，求其離心率；(3)若雙曲線兩條漸近線的夾角為60⁰，求其離心率

   解：(1)e=

(2)雙曲線方程為時，=，e=;方程為時，=，e=;總之，離心率為或

說明：由漸近線可以確定雙曲線的離心率，如圖，可以看出e==

(3)夾角為60⁰,雙曲線可能在夾角范圍內，也有在其補角范圍內，即漸近線與軸的夾角為30⁰或60⁰；e==或e==2

變形練習1：“雙曲線離心率為”是“雙曲線為等軸雙曲線”的__________條件（充要）

變形練習2：若雙曲線兩條漸近線的夾角為α，求其離心率（或）

例2、P為雙曲線上一點，F(xiàn)是其右焦點，(1)求PF的最值及此時點P的坐標；(2)若集合A={(x,y)| ,a、b>0},集合B={(x,y)|(x-c)²+y²=r²,其中c=，r>0},求A∩B元素的個數(shù)

解：(1)設P(x,y),PF²=(x-c)²+y²=x²-2cx+c²+(-1)b²=x²-2cx+a²(x≤-a或x≥a),由圖象知x=a時PF²_min=(c-a)²,PF_min=c-a,此時P(a,0);PF無最大值

（說明：該結論可以先從圖中看出，再進行驗證）

(2)由(1) PF_min=c-a,故r<c-a時，A∩B有0個元素；r=c-a時，A∩B有1個元素；c-a<r<c+a時，A∩B有2個元素；r=c+a時，A∩B有3個元素；r>c+a時，A∩B有4個元素

例3、（1）寫出與的漸近線方程，由此說明（λ≠0）的漸近線方程是什么？

（2）寫出與-=1的漸近線方程，由此說明（λ≠0）的漸近線方程是什么？

（3）由(1)(2)你能得到什么結論？

（4）求與=1有公共漸近線且過點（15，4）的雙曲線方程

解：（1）y=±x，

(2)y=±x，

(3) 雙曲線與漸近線方程具有統(tǒng)一形式，其中λ≠0為雙曲線方程，λ=0時為相應的漸近線方程

（4）設雙曲線方程為=λ，將(15,4)代入得λ=8，從而雙曲線方程為=8

2、雙曲線與漸近線方程具有統(tǒng)一形式，其中λ≠0為雙曲線方程，λ=0時為相應的漸近線方程

[補充習題]

1、已知雙曲線的兩個焦點分別是，點為雙曲線上的一點，且，則的面積等于

A、0.5          B、1          C、3          D、6

2、已知方程表示焦點在軸上的雙曲線，則點在

A、第一象限      B、第二象限      C、第三象限        D、第四象限

3、橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為

A、        B、        C、        D、

4、若焦點在軸上的雙曲線方程是，則其焦距的取值范圍是         

5、（1）雙曲線上任意一點到兩條漸進線的距離的乘積是一個定值；（2）經過雙曲線上任一點，作平行于兩漸近線的直線，與漸近線交于兩點，則平行四邊形的面積為定值，求此定值。

 [答案]

1、C

2、C

3、A

4、-2<k<1

5、（1）設雙曲線的方程為  所以漸近線方程為；到的距離  到的距離

*又在雙曲線上 所以 即    故*可化為

（2）證明：設點到兩漸近線的距離分別為，兩漸進線的夾角為，則有： ，

代入上式并整理得：。

教后感想與作業(yè)情況