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9．將函數(shù)的圖象按向量平移后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是           ．

10．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則函數(shù)的最大值為           ．

11．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，.將三角形沿對(duì)角線折到，使得二面角的大小為，則與平面所成角的正弦值是

           ；四面體的體積為           ．

12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于兩點(diǎn)，

則的周長(zhǎng)為           ；若兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且

的面積是4，則的值為             ．

13．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義運(yùn)算（用表示運(yùn)算符號(hào)）：當(dāng)都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時(shí)，；而當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，．例如，.在上述定義中，集合的元素有               個(gè)．

14．已知是定義在上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的，都有成立． 數(shù)列滿足，且.則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________________ .

得分

評(píng)卷人

15．（本小題滿分13分）

已知函數(shù)的最小正周期為.

   (Ⅰ)試求的值；

(Ⅱ) 在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊.若

的面積,求的值.

得分

評(píng)卷人

16. （本小題滿分14分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點(diǎn)，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小.

得分

評(píng)卷人

17．（本小題滿分13分）

在袋子中裝有10個(gè)大小相同的小球，其中黑球有3個(gè)，白球有，且個(gè)，其余的球?yàn)榧t球．

(Ⅰ)若，從袋中任取1個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個(gè)紅球的概率；

(Ⅱ)從袋里任意取出2個(gè)球，如果這兩個(gè)球的顏色相同的概率是，求紅球的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，從袋里任意取出2個(gè)球．若取出1個(gè)白球記1分，取出1個(gè)黑球記2分，取出1個(gè)紅球記3分．用ξ表示取出的2個(gè)球所得分?jǐn)?shù)的和，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．

得分

評(píng)卷人

18．（本小題滿分13分）

已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）過右焦點(diǎn)的直線(不與x軸重合)與雙曲線交于兩點(diǎn)，且直線、分別交雙曲線的右準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

得分

評(píng)卷人

19．（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線(為與無關(guān)的正實(shí)數(shù))上．

(Ⅰ) 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(Ⅱ) 記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足．

設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，設(shè)，證明．

得分

評(píng)卷人

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；

(Ⅱ)求證：；

(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

北京市朝陽(yáng)區(qū)高三統(tǒng)一練習(xí)二

              數(shù)學(xué)理科答案            2009.5

一、選擇題:

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

A

C

D

A

D

A

(9)  ;     (10) 2;           (11)  ;    

 (12)  16,;             (13)  15;          (14) .

(15) 解: （Ⅰ）因?yàn)?sub>

因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,且,故.   ………………………6分

 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知，.

由得，,

所以.

又因?yàn)?sub>,所以,

所以,即.

又因?yàn)?sub>,且，所以.

由余弦定理得.

 解得（舍負(fù)），所以.          ………………………13分

(16) 證明：（Ⅰ）因?yàn)?sub>底面，

所以是與平面所成的角.

由已知， 所以.

易求得，，又因?yàn)?sub>，

所以， 所以.

因?yàn)?sub>底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.                             ………………………4分

解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因?yàn)?sub>平面,

所以平面平面，

過作于，（如圖）則平面，

所以線段的長(zhǎng)度為點(diǎn)到平面的距離.

在中，易求得,  所以.

所以點(diǎn)到平面的距離為.                     ………………………9分

（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn). 連結(jié)，由于底面，

且平面，則平面平面.

 因?yàn)?sub>，所以平面.

過作，垂足為，連結(jié)，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因?yàn)?sub>，，，

所以.

在中，因?yàn)?sub>，所以，

所以二面角的大小為.        ………………………14分

解法二:

因?yàn)?sub>底面，

所以是與平面所成的角.

由已知，

所以.

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

由已知，為中點(diǎn).

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，

， .

因?yàn)?sub>, ,

所以，.

因?yàn)?sub>，所以平面.         ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.    又因?yàn)?sub>,

所以點(diǎn)到平面的距離.   ………………………9分

（Ⅲ）因?yàn)?sub>平面，所以是平面的法向量， 易得.

由（Ⅱ）知平面的法向量，

所以.

所以二面角的大小為.        ………………………14分

(17) 解：（Ⅰ）設(shè)“從袋中任取1個(gè)球是紅球”為事件A，則．

所以，．

答：三次取球中恰有2個(gè)紅球的概率為．    ………………4分

（Ⅱ）設(shè)“從袋里任意取出2個(gè)球，球的顏色相同”為事件B，則

整理得：，解得n=3（舍）或n=4．

所以，紅球的個(gè)數(shù)為3個(gè)．        ………………………8分

（Ⅲ）的取值為2，3，4，5，6，且

所以的分布列為

2

3

4

5

6

P

所以， ………………………13分

(18) 解：（Ⅰ）雙曲線的右準(zhǔn)線為，漸近線為.

因?yàn)橛覝?zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以解得．

于是，雙曲線的方程為．            ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，右準(zhǔn)線為．

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則直線方程分別為，

令，得的坐標(biāo)分別為，

此時(shí)．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由得．

因?yàn)橹本�與雙曲線交于兩點(diǎn)，

所以，，解得．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則，．

則直線方程分別為，

令，得的坐標(biāo)分別為，

所以

            ．

所以，為定值．                 ………………………13分

 (19) 解：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)在直線（為與無關(guān)的正實(shí)數(shù)）上，

所以，即有．

當(dāng)時(shí)，．

   由，解得，所以．

當(dāng)

         ①

          ②

①－②，得 ，整理得．

綜上所述，知 ，因此是等比數(shù)列． …………………5分

(Ⅱ)  由(Ⅰ) 知，從而，

所以．

因此，是等差數(shù)列，并且．

所以，

        ．                       ………………………10分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，則．   

 將用二項(xiàng)式定理展開，共有項(xiàng)，其第項(xiàng)為

        同理，用二項(xiàng)式定理展開，共有項(xiàng)，第項(xiàng)為，其前項(xiàng)中的第項(xiàng)為，

        由，

        得又，

∴ ．                        ………………………13分

(20) (Ⅰ)解：因?yàn)?sub>，令，解得，

令，解得，

所以函數(shù)在上遞減，上遞增，

所以的最小值為．                   ………………………3分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即

兩端同時(shí)乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

由得，，， ，…

         ，．

將上式相乘得

．………………………9分

（Ⅲ）設(shè).

    則．

   所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最小值0，則與的圖象在處有公共點(diǎn)．

設(shè)與存在 “分界線”，方程為.

由在恒成立，

則在恒成立.

所以成立.因此.

下面證明成立.

 設(shè)，.

 所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

        因此時(shí)取得最大值0，則成立.

所以，.                          ………………………14分