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1． 設(shè)集合，，則   ▲   ．

2． 已知復(fù)數(shù)z滿足z²＋1＝0，則（z⁶＋i）（z⁶－i）＝   ▲    ．

3． 在總體中抽取了一個(gè)樣本，為了便于統(tǒng)計(jì)，將樣本中的每個(gè)數(shù)據(jù)乘以100后進(jìn)行分析，得出新樣本平均數(shù)為3，則估計(jì)總體的平均數(shù)為   ▲   ．

說(shuō)明：本題關(guān)注一下：

4． 冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則滿足＝27的x的值是   ▲   ．

5． 下列四個(gè)命題：

①；        ②；

③；④．

其中真命題的序號(hào)是   ▲   ．

說(shuō)明：請(qǐng)注意有關(guān)常用邏輯用語(yǔ)中的一些特殊符號(hào)．如果題中的集合R改成Z，真命題的序號(hào)是①④，如果R改成復(fù)數(shù)集C呢？

6． 如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME－7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

＝   ▲  ．

說(shuō)明：本題是課本中的習(xí)題改編，重在建立觀察、歸納意識(shí)．

7． 以下偽代碼：

Read  x

If  x≤ 0  Then 

   ← 4x

Else

   ←

End  If

Print 

根據(jù)以上算法，可求得的值為   ▲   ．

8． 在半徑為1的圓周上按順序均勻分布著A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆六個(gè)點(diǎn)．則

＝   ▲   ．

說(shuō)明：此學(xué)生容易把兩向量的夾角弄錯(cuò)．如改成12個(gè)點(diǎn)，邊長(zhǎng)的求法就不一樣了，難度會(huì)加大．

9． 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有．記

，則  ▲  ．

說(shuō)明：注意對(duì)稱性．

10．已知函數(shù)f（x）＝log_a| x |在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，則f（－2）  ▲  f（a＋1）．（填寫(xiě)“<”，“＝”，“>”之一）

說(shuō)明：注意函數(shù)y＝f（| x |）是偶函數(shù)．比較f（－2）與f（a＋1）的大小只要比較－2、 a＋1與y軸的距離的大�。�

11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)C．若，

則直線AB的斜率為   ▲   ．

說(shuō)明：涉及拋物線的焦點(diǎn)弦的時(shí)候，常用應(yīng)用拋物線的定義．注意本題有兩解．

12．有一根長(zhǎng)為6cm，底面半徑為0.5cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的長(zhǎng)度最少為   ▲   cm．

說(shuō)明：本題是由課本例題改編的．關(guān)鍵是要把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．

13．若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，則a的取值范圍是  ▲  ．

說(shuō)明：線性規(guī)劃要注意數(shù)形結(jié)合，要綜合運(yùn)用多方面的知識(shí)．特別要注意區(qū)域的邊界．

14．已知△ABC三邊a，b，c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且，如果b＝m（mN*），則這樣的三角形共有   ▲  個(gè)（用m表示）．

說(shuō)明：本題是推理和證明這一章的習(xí)題，考查合情推理能力．講評(píng)時(shí)可改為c＝m再探究．本題也可以用線性規(guī)劃知識(shí)求解．

填空題答案：

1．   2．2   3．0.03  4．  5．④   6．   7．－8   8．3   9．－1

10．<    11．    12．     13．    14．

15．（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且．

  （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，試求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ），……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

從而．……………………………………………………………12分

∴當(dāng)＝1，即時(shí)，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

評(píng)講建議：

    本題主要考查解三角形和向量的運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生涉及三角形中三角恒等變換時(shí)，要從化角或化邊的角度入手，合理運(yùn)用正弦定理或余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)變形；在第二小題中，要強(qiáng)調(diào)多元問(wèn)題的消元意識(shí)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，注意定義域的確定對(duì)結(jié)論的影響，并指明取最值時(shí)變量的取值．

16．（本小題滿分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB₁與

平面ACB₁都平行？證明你的結(jié)論．

證明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ………………7分

（Ⅱ）存在點(diǎn)P，P為A₁B₁的中點(diǎn)． ……………………………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點(diǎn)，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁為平行四邊形，從而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

評(píng)講建議：

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關(guān)知識(shí)，第一小題要引導(dǎo)學(xué)生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小題，要求學(xué)生熟練掌握一個(gè)常用結(jié)論：若一直線與兩相交平面相交，則這條直線一定與這兩平面的交線平行；同時(shí)注意問(wèn)題的邏輯要求和答題的規(guī)范性，這里只需要指出結(jié)論并驗(yàn)證其充分性即可，當(dāng)然亦可以先探求結(jié)論，再證明之，這事實(shí)上證明了結(jié)論是充分且必要的．

變題：

求證：（1）A₁B⊥B₁D；（2）試在棱AB上確定一點(diǎn)E，使A₁E∥平面ACD₁，并說(shuō)明理由．

17．（本小題滿分15分）

口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：

甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，

否則算乙贏．

（Ⅰ）求甲贏且編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率；

（Ⅱ）這種游戲規(guī)則公平嗎?試說(shuō)明理由．

解：（I）設(shè)“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5個(gè)．……………………2分

又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5＝25（個(gè)）等可能的結(jié)果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：編號(hào)的和為6的概率為．…………………………………………………………………7分

     （Ⅱ）這種游戲規(guī)則不公平．……………………………………………………………………9分

設(shè)“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， ……………………………………………10分

則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個(gè)：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲勝的概率P（B）＝，從而乙勝的概率P（C）＝1－＝．…………14分

由于P（B）≠P（C），所以這種游戲規(guī)則不公平． ………………………………15分

評(píng)講建議：

    本題主要考查古典概率的計(jì)算及其相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生列舉全面，書(shū)寫(xiě)規(guī)范．尤其注意此類問(wèn)題的答題格式：設(shè)事件、說(shuō)明概型、計(jì)算各基本事件種數(shù)、求值、作答．

引申：連續(xù)玩此游戲三次，若以D表示甲至少贏一次的事件，E表示乙至少贏兩次的事件，試問(wèn)D與E是否為互斥事件?為什么?（D與E不是互斥事件．因?yàn)槭录﨑與E可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意；亦可分別求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得兩者一互斥．）

18．（本小題滿分15分）

已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A、C，上頂點(diǎn)為B．過(guò)F、B、

C作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．

（Ⅰ）當(dāng)m＋n>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍；

（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結(jié)論．

解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

如果直線AB與⊙P相切，則?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評(píng)講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關(guān)知識(shí)，要求學(xué)生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，從而大膽求出交點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識(shí)：圓的切割線定理，假設(shè)直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關(guān)系推出矛盾．

19．（本小題滿分16分）

已知函數(shù)（a＞0，且a≠1），其中為常數(shù)．如果 是增函數(shù)，且存在零點(diǎn)（為的導(dǎo)函數(shù)）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數(shù)y＝g（x）的圖象上兩點(diǎn)，（ 為的導(dǎo)函數(shù)），證明：．

解：（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

所以． …………………………………………3分

因?yàn)閔（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．

又存在正零點(diǎn)，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零點(diǎn)，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分

以下證明．      （※）

（※）等價(jià)于． ……………………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，…………………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數(shù)．

當(dāng)x₁<x₂時(shí)，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

從而得到證明．……………………………………………………………………15分

對(duì)于同理可證……………………………………………………………16分

所以．

評(píng)講建議：

此題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等知識(shí)．評(píng)講時(shí)注意著重導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用．本題的第一小題是常規(guī)題比較容易，第二小題是以數(shù)學(xué)分析中的中值定理為背景，作輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，是近幾年高考的熱點(diǎn)．第二小題還可以這樣證明：

要證明，只要證明>1，令，作函數(shù)h（x）＝t－1－lnt，下略．

20．（本小題滿分16分）

已知數(shù)列中，，且對(duì)時(shí)，有．

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列滿足，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

（Ⅰ） 證明：由條件，得，

則．……………………………………2分

即，所以，．

所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． …………………………………4分

，所以．

兩邊同除以，可得．…………………………………………………6分

于是為以首項(xiàng)，－為公差的等差數(shù)列．

所以．………………………………………………8分

（Ⅱ），令，則．

而．

∴． ……………………………………………………………12分

，

∴．………………14分

令T_n＝，                              ①

則2T_n＝．       ②

①－②，得T_n＝，T_n＝．

∴．……………………………………………………………16分

評(píng)講建議：

此題主要考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)求法、數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，作新數(shù)列法，錯(cuò)項(xiàng)相消法，裂項(xiàng)法等知識(shí)與方法，同時(shí)考查學(xué)生的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，邏輯推理能力及運(yùn)算能力．講評(píng)時(shí)著重在正確審題，怎樣將復(fù)雜的問(wèn)題化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，本題主要將一個(gè)綜合的問(wèn)題分解成幾個(gè)常見(jiàn)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．事實(shí)上本題包含了好幾個(gè)常見(jiàn)的數(shù)列題．本題還有一些另外的解法，如第一問(wèn)的證明還可以直接代．

B．附加題部分

1． 選修4－1：幾何證明選講

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，過(guò)A點(diǎn)的切線交CB

的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．

求證：．

證明：連結(jié)AC．…………………………………………………1分

因?yàn)镋A切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．…………3分

因?yàn)?sub>，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．

于是∠EAB＝∠ACD．…………………………………5分

又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以∠ABE＝∠D．

所以∽．

于是，即．………………9分

所以．…………………………………10分

2． 選修4－2：矩陣與變換

如圖所示， 四邊形ABCD和四邊形分別是矩形和平行四邊

形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－1，2），B（3，2），C（3，－2），

D（－1，－2），（3，7），（3，3）．求將四邊形ABCD變成

四邊形的變換矩陣M．

解：該變換為切變變換，設(shè)矩陣M為，…………………3分

則．………………………………………………6分

∴，解得．…………………………………………………………………9分

所以，M為．………………………………………………………………………10分

說(shuō)明：掌握幾種常見(jiàn)的平面變換．

3． 選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

過(guò)點(diǎn)P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長(zhǎng)．

解：直線的參數(shù)方程為，………………………………………………3分

曲線可以化為．……………………………………………5分

將直線的參數(shù)方程代入上式，得．

設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，∴．…………………………8分

AB＝．…………………………………………………10分

說(shuō)明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數(shù)方程及簡(jiǎn)單的應(yīng)用．

4． 選修4－5：不等式選講

已知x，y，z均為正數(shù)．求證：

證明：因?yàn)?i>x，y，z無(wú)為正數(shù)．所以， ………………………………4分

同理可得，………………………………………………………7分

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立．

將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得．…………10分

5．已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．

   （Ⅰ）求n的值；

   （Ⅱ）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解：（Ⅰ）由題設(shè)，得 ， ………………………………………………3分

即，解得n＝8，n＝1（舍去）．……………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)第r＋1的系數(shù)最大，則……………………………………………6分

即 解得r＝2或r＝3． ………………………………………………8分

所以系數(shù)最大的項(xiàng)為，．………………………………………………10分

說(shuō)明：掌握二項(xiàng)式定理，展開(kāi)式的通項(xiàng)及其常見(jiàn)的應(yīng)用．

6． 動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線l：y＝3之間的區(qū)域（含邊界）上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，1）和直線l的距離之和為4．

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（0，－1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成的區(qū)域的面積．

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），根據(jù)題意，得．……………………………3分

化簡(jiǎn)，得．…………………………………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)過(guò)Q的直線方程為，代入拋物線方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………………………6分

所求切線方程為（也可以用導(dǎo)數(shù)求得切線方程），

此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），（－2，1），且切點(diǎn)在曲線C上． ………………………8分

由對(duì)稱性知所求的區(qū)域的面積為

．…………………………………………10分

說(shuō)明：拋物線在附加題中的要求提高了，定積分要求不高．

附加題部分說(shuō)明：

本次附加題考查內(nèi)容盡量回避一模所考內(nèi)容，沒(méi)有考查概率分布和空間向量解立體幾何問(wèn)題．這兩部分內(nèi)容很重要，希望在后期的復(fù)習(xí)中不可忽視．