第三單元 二次函數(shù)
一、教 法 建 議
拋磚引玉
教學(xué)應(yīng)從生活中的實(shí)例引出二次函數(shù)，進(jìn)而總結(jié)出二次函數(shù)定義：（a，b，c為常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).它是從實(shí)踐中來，上升為理論的方法，使學(xué)生由感性到理性，感到真實(shí)貼切，易于接受.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生自己列表，動手畫出二次函數(shù)y=x2，y=-x2的圖象，總結(jié)出其性質(zhì)，圖象的形狀――拋物線.以二次函數(shù)y=ax2為基礎(chǔ)，以具體實(shí)例研究，然后由兩個特殊型過渡到一般型的二次函數(shù).要始終把由特殊到一般的思維方法孕育在教學(xué)中，把配方法交給學(xué)生，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式展現(xiàn)給同學(xué)們，再通過描點(diǎn)畫出二次函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、圖象的平移規(guī)律.圖象是軸對稱圖形，并由二次函數(shù)的一般形式，通過配方寫成頂點(diǎn)式的形式；結(jié)合二次方程的有關(guān)知識，由一般式可寫成截距式的形式.三種形式實(shí)質(zhì)是一致的，各有千秋，要向?qū)W生揭示各種形式的特點(diǎn)[如知其拋物線過三點(diǎn)時，可選用一般式求解；知其圖象與x軸有交點(diǎn)時，可選用截距式求解]，以例在求函數(shù)解析式時靈活運(yùn)用.
在教學(xué)中，要始終貫徹數(shù)形結(jié)合法、歸納法、演繹法、配方法、待定系數(shù)法.要求動手畫圖，動腦思考，精心觀察，培養(yǎng)學(xué)生的各種思維方法.
批點(diǎn)迷津
二次函數(shù)這一內(nèi)容，必須牢記數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行思維，知其三點(diǎn)求二次函數(shù)解析式的方法.如何結(jié)合代數(shù)、幾何、銳角三角函數(shù)及生活實(shí)際等找到這三點(diǎn)，是求二次函數(shù)解析式的關(guān)鍵所在，要根據(jù)其性質(zhì)、平移規(guī)律等進(jìn)行思維，精心觀察，數(shù)形結(jié)合，才能找到解題的突破口，并根據(jù)自變量的取值范圍畫出圖象.一般地說，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，那么x取值范圍必須是實(shí)數(shù).若x的取值范圍在某一區(qū)間，則所畫圖象只是拋物線的一部分.根據(jù)實(shí)際問題，有時是整數(shù)點(diǎn).總之，要根據(jù)自變量的取值范圍具體畫出圖象.
在本單元，除抓住“數(shù)形結(jié)合法”這根主線，對動靜的互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系也要把握適時.
二、學(xué) 海 導(dǎo) 航
思維基礎(chǔ)
（一）1．二次函數(shù)的圖象的開口方向是向 ，頂點(diǎn)從標(biāo)是 ，對稱軸是 。
2．拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，則m的值等于 .
3.如果把第一條拋物線向上平移個單位（a>0），再向左平移個單位，就得到第二條拋物線，已知第一條拋物線過點(diǎn)（0，4），則第一條拋物線的函數(shù)關(guān)系式是
.
（二）1.如圖代13-3-1所示二次函數(shù)的圖象，則有（ ）
圖代13-3-1 圖代13-3-2
A.a+b+c<0 B.a+b+c=0 C.a+b+c>0 D.a+b+c的符號不定
2.如圖1-3-2是拋物線的圖象，則下列完全符合條件的是（ ）
A.a<0，b<0，c>0，b2<4ac B.a<0，b>0，c<0，b2<4ac
C.a<0，b>0，c>0，b2>4ac D.a>0，b<0，c<0，b2>4ac
3．已知拋物線的對稱軸為x=1，與x軸、y軸的三個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為6，且與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則此二次函數(shù)的解析式為（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
學(xué)法指要
例 在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，若∠ACB=90°，.
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）試設(shè)計(jì)兩種方案，作一條與y軸不生命，與△ABC的兩邊相交的直線，使截得的
三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一.
【思考】 （第一問）1.坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有何特點(diǎn)？2.如何求拋物線與y軸的交
點(diǎn)坐標(biāo)？3.如何設(shè)出拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)？4.線段與坐標(biāo)之間有何種關(guān)系？你會用坐標(biāo)表示線段嗎？
【思路分析】 本例必須準(zhǔn)確設(shè)出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再求出C點(diǎn)坐標(biāo)，并會用它們表
示線段的長，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，再由幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，相互轉(zhuǎn)化，相互轉(zhuǎn)化，水到渠成.
解：（1）依題意，設(shè)A(a,0),B(,0)其中a<0, β>0，則a,β是方程
∴ AOC∽△COB。
把A（-4，0）代入①，得
解這個方程得n=2.
∴所求的二次函數(shù)的解析式為
現(xiàn)在來解答第二問。
【思考】這第二問所要求作的三角形應(yīng)具備什么條件？什么樣的三角形與△ABC相似？在什么條件下可以討論兩個三角形面積的比？在一個圖形上作一和直線，需要確定什么？△ABC是一個什么樣的三角形？
【思路分析】①所求的三角形與△ABC相似；②所求的三角形面積=
所求三角形若與△ABC相似，要具備有“兩角對應(yīng)相等”，“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”，“三邊對應(yīng)成比例”等判定兩三角形相似的條件。
在兩三角形相似的條件下，“兩三角形面積的比等于相似的平方”，即找相似比等于1:2.
在一個圖形上，截得一個三角形，需要作一條直線，作一條直線應(yīng)在圖形上確定兩個點(diǎn)，且這條直線不能與y軸重合。
分析至此問題十分明確，即在△ABC的兩邊上找出符合上述條件的兩點(diǎn)作一條直線。
再來分析△ABC是一個什么樣的三角形，猜測它是直角三角形最為理想。
從第一問得知的條件A（-4，0）B（1，0），C（0，-2）可用勾股定理推出，△ABC確是直角三角形。
這樣△ABC∽△CAO∽△BCO，且為作符合條件的直線提供了條件。下邊分述作符合條件直線的方案。
方案1:依據(jù)“三角形兩邊中點(diǎn)的連線，截得的三角形與原三角形相似”，其相似比是1:2，面積的比為1:4。
作法：取AO的中點(diǎn)D，過D作D D¢∥OC，
∴D¢是AC的中點(diǎn)。
∴ AD：AO=1：2，
即 △AD¢D=.
△AD¢D∽△ACO∽△ABC.
圖代13-3-3
∴DD¢是所求作的直線，AD¢D是所求作的三角形。
方案2：利用∠C作一個△BCF △COB。
作法：在CA上截取CE，使CE=CO=2，在CB上截取CF，使CF=BO=1，連結(jié)EF，則△BCF即為所求，如圖代13-3-4所示。請讀者證明。
圖代13-3-4 圖代13-3-5
方案3：在AC上截取AG，使AG=CO=2，在AB上截取AH，使AH=BC=，連結(jié)GH，則△AGH為所求，如圖代13-3-5所示，請讀者去證明。
方案4：在CA上截取CM，使CM=BO=1，在CB上截取CN，使CN=CO=2，連結(jié)MN，則△CMN為所求，如圖代13-3-6所示，請讀者去證明。
圖代13-3-6 圖代13-3-7
方案5：在BA上截取BP，使BP=BC=，在BC上截取BQ，使BQ=BO=1，連結(jié)PQ，則△BPQ為所示，如圖代13-3-7所示。請讀者去證明。
思維體操
例 一運(yùn)動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面米，鉛球落地點(diǎn)距離鉛球剛出手時
相應(yīng)地面上的點(diǎn)10米，鉛球運(yùn)行中最高點(diǎn)離地面3米，已知鉛球走過的路線是拋物線.求這個拋物線的解析式.
圖代13-3-8
如圖，結(jié)合題意，知拋物線過，用一般式：
解之，于是有
解方程組，得
；
.
∴所求拋物線解析式為
或.
∵，這時，拋物線的最高點(diǎn)（-20，3）不在運(yùn)動員與鉛球落地之間，不合題意，舍去.
∴所求拋物線解析式為
（0≤x≤10）.
【擴(kuò)散2】 仿擴(kuò)散1知拋物線過.因B為頂點(diǎn)，所以利用頂點(diǎn)式最宜，于是可設(shè)拋物線的解析式為
.
又其圖象過A，C兩點(diǎn)，則
解方程組，得
；
.
∵拋物線最高點(diǎn)（-20，3）不在運(yùn)動員和鉛球之間，不合題意，∴舍去.
故所求拋物線的解析式是（0≤x≤10）.
【擴(kuò)散3】 拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，即D（x，0），C（10，0），聯(lián)想截距式解之.
于是設(shè)拋物線解析式為，
其圖象又過A，C兩點(diǎn)，則有
，∴.
又
，
∴ . ②
①②聯(lián)立解方程組，得
；
.
但不合題意，舍去.
故所求二次函數(shù)解析式為（0≤x≤10）.
【擴(kuò)散4】 由拋物線對稱性,設(shè)對稱點(diǎn),B(m，3)，又C（10，0），應(yīng)用一般式可獲解.
設(shè)拋物線，則可得
解這個方程組，得
.
∵（m，3）在第一象限，∴m>0.
∴m=-20（舍去），∴m=4.
進(jìn)而求得：
故所求拋物線解析式是：（0≤x≤10）.
【擴(kuò)散5】 如圖，這是某空防部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在地面O，A兩個觀測點(diǎn)測得空中固定目標(biāo)C的仰角分別為α和β，OA=1千米，tgα=,tgβ=,位于O點(diǎn)正上方千米D點(diǎn)處的直升飛機(jī)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，該導(dǎo)彈運(yùn)行達(dá)到距地面最大高度3千米時，相應(yīng)的水平距離為4千米（即圖中的E點(diǎn)）.
（1）若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式；
（2）說明按（1）中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C的理由.
【思路分析】
①本例應(yīng)用擴(kuò)散1～4思路均可，尤以擴(kuò)散2應(yīng)用頂點(diǎn)式最佳，讀者可仿擴(kuò)散2求得拋
物線解析式為：（0≤x≤10）.
②過點(diǎn)C作CB⊥Ox，垂足為B，然后解Rt△OBC和Rt△ABC，可求得點(diǎn)在拋
物線上，因此可擊中目標(biāo)C（請讀者自己寫出完整解答過程）.
【擴(kuò)散6】 有一拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)
把它的圖形放在坐標(biāo)系里（如圖所示），若在離跨度中心M點(diǎn)5m處垂直豎直一鐵柱支撐拱頂，這鐵柱應(yīng)取多長？
圖代13-3-9
【思路分析】 本例仿擴(kuò)散2可設(shè)拋物線解析式為（0≤x≤40），
又拋物線過原點(diǎn)，進(jìn)而求得，在距離M點(diǎn)5m處，即它們的橫坐標(biāo)是x1=15或x2=25，分別代入拋物線解析式，求得y1=y2=15.所以鐵柱應(yīng)取15m長.
【評析】 由擴(kuò)散1～6，拋物線應(yīng)用從體育方面，擴(kuò)散到軍事，涉及現(xiàn)代科技、導(dǎo)彈、
直升飛機(jī)等.進(jìn)而又?jǐn)U散到橋梁建筑，涉及到現(xiàn)代化建設(shè)的方方面面，告訴同學(xué)們，必須學(xué)好課本知識，才能適應(yīng)現(xiàn)代化的需要.
圖代13-3-10
本例的解題思路擴(kuò)散，把頂點(diǎn)式、一般式、截距式、拋物線的對稱性都進(jìn)行了展示，
我們可以根據(jù)不同的情況，迅速進(jìn)行決策，選設(shè)不同的解析式，達(dá)到求解的目的.
三、智 能 顯 示
心中有數(shù)
二次函數(shù)的知識，是初中三年級數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.在解有關(guān)二次函數(shù)的問題時，應(yīng)用待
定系數(shù)法和方程、方程組的知識，用到數(shù)形結(jié)合、觀察、想象的思想方法，應(yīng)當(dāng)深入理解和掌握這部分知識.
動手動腦
1.某商人如果將進(jìn)貨價為8元的商品按每件10元出售時，每天可銷售100件，現(xiàn)在采
用提高售出價，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提高1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺利潤為最大，并求出最大利潤？
2.已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若
△ABC是等腰三角形，求拋物線的解析式.
3.已知拋物線.
（1）求證：不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點(diǎn)，并且有一個交點(diǎn)是A（2，0）.
（2）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為B，AB的長為d，求d與m之間的函數(shù)關(guān)系式.
（3）當(dāng)d=10，P（a，b）為拋物線上一點(diǎn).
①當(dāng)△ABP是直角三角形時，求b的值；
②當(dāng)△APB是銳角三角形、鈍角三角形時，分別寫出b的范圍（不要求寫出解答過程）.
創(chuàng)新園地
例 如圖，有一模型拱門，其拱門的徒刑為拋物線的一部分（該拋物線為二次函數(shù)
的圖形），拱門寬AB=20cm，拱門高PO為8cm，已知小明的玩具車寬為12cm，車高h(yuǎn)cm，就能順利通過這拱門，那么滿足這個條件h的最大整數(shù)為 .
提示：本例沒有告知拱門所在坐標(biāo)，這就需要我們自己建立直角坐標(biāo)系后求解.
圖代13-3-11
一、填空題
1.把拋物線向左平移2個單位得拋物線 ，接著再向下平移3個
單位，得拋物線 .
2.函數(shù)圖象的對稱軸是 ，最大值是 .
3.正方形邊長為3，如果邊長增加x面積就增加y，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系
是 .
4.已知二次函數(shù)，通過配方化為的形
為 .
5.若二次函數(shù)（c不為零），當(dāng)x取x1，x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則
x1與x2的關(guān)系是 .
6.拋物線當(dāng)b=0時，對稱軸是 ，當(dāng)a，b同號時，對稱軸在y軸 側(cè)，當(dāng)a，b異號時，對稱軸在y軸 側(cè).
7.拋物線開口 ，對稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是 .
8.若a<0，則函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第 象限；當(dāng)x>時，函數(shù)值隨x的增大而 .
9.二次函數(shù)（a≠0）當(dāng)a>0時，圖象的開口a<0時，圖象的開口 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .
10.拋物線，開口 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，對稱軸是 .
11.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-2）.
12.已知，當(dāng)x 時，函數(shù)值隨x的增大而減小.
13.已知直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k= ，交點(diǎn)坐標(biāo)為 .
14.用配方法將二次函數(shù)化成的形式是 .
15.如果二次函數(shù)的最小值是1，那么m的值是 .
二、填空題
16.在拋物線上的點(diǎn)是（ ）
A.（0，-1） B. C.（-1，5） D.（3，4）
17.直線與拋物線的交點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A.0個 B.1個 C.2個 D.互相重合的兩個
18.關(guān)于拋物線（a≠0），下面幾點(diǎn)結(jié)論中，正確的有（ ）
①當(dāng)a>0時，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊y隨x的增大而增大，當(dāng)
a<0時，情況相反.
②拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)都是指拋物線的頂點(diǎn).
③只要解析式的二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相同，兩條拋物線的形狀就相同.
④一元二次方程（a≠0）的根，就是拋物線與x軸
交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
A.①②③④ B.①②③ C. ①② D.①
19.二次函數(shù)y=(x+1)(x-3)，則圖象的對稱軸是（ ）
A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
20.如果一次函數(shù)的圖象如圖代13-3-12中A所示，那么二次函
-3的大致圖象是（ ）
圖代13-2-12
21.若拋物線的對稱軸是則（ ）
A.2 B. C.4 D.
22.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），那么拋物線的性
質(zhì)說得全對的是（ ）
A.開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，圖象與正半y軸相交
B.開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，圖象與正半y軸相交
C.開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，圖象與負(fù)半y軸相交
D.開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，圖象與負(fù)半y軸相交
23.二次函數(shù)中，如果b+c=0，則那時圖象經(jīng)過的點(diǎn)是（ ）
A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）
24.函數(shù)與（a<0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
圖代13-3-13
25.如圖代13-3-14，拋物線與y軸交于A點(diǎn)，與x軸正半軸交于B，
C兩點(diǎn)，且BC=3，S△ABC=6，則b的值是（ ）
A.b=5 B.b=-5 C.b=±5 D.b=4
圖代13-3-14
26.二次函數(shù)（a<0），若要使函數(shù)值永遠(yuǎn)小于零，則自變量x的取值范圍是
（ ）
A．X取任何實(shí)數(shù) B.x<0 C.x>0 D.x<0或x>0
27.拋物線向左平移1個單位，向下平移兩個單位后的解析式為
（ ）
A. B.
C. D.
28.二次函數(shù)（k>0）圖象的頂點(diǎn)在（ ）
A.y軸的負(fù)半軸上 B.y軸的正半軸上
C.x軸的負(fù)半軸上 D.x軸的正半軸上
29.四個函數(shù)：（x>0），（x>0），其中圖象經(jīng)過原
點(diǎn)的函數(shù)有（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
30.不論x為值何，函數(shù)（a≠0）的值永遠(yuǎn)小于0的條件是（ ）
A.a>0，Δ>0 B.a>0,Δ<0
C．a(chǎn)<0,Δ>0 D.a<0,Δ<0
三、解答題
31.已知二次函數(shù)和的圖象都經(jīng)過x
軸上兩上不同的點(diǎn)M，N，求a，b的值.
32.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它
的圖象與x軸交于兩點(diǎn)B（x1，0），C（x2，0），與y軸交于點(diǎn)D，且，試問：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△POB與△DOC相似（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請求出過P，B兩點(diǎn)直線的解析式，若不存在，請說明理由.
33.如圖代13-3-15，拋物線與直線y=k(x-4)都經(jīng)過坐標(biāo)軸的正半軸上A，B兩點(diǎn)，該
拋物線的對稱軸x=-21與x軸相交于點(diǎn)C，且∠ABC=90°，求：（1）直線AB的解析式；（2）拋物線的解析式.
圖代13-3-15 圖代13-3-16
34.中圖代13-3-16，拋物線交x軸正方向于A，B兩點(diǎn)，交y軸正方
向于C點(diǎn)，過A，B，C三點(diǎn)做⊙D，若⊙D與y軸相切.（1）求a，c滿足的關(guān)系能工巧匠；（2）設(shè)∠ACB=α，求tgα；（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P，判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系并證明.
35.如圖代13-3-17，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示
意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸，橋拱的DGD＇部分為一段拋物線，頂點(diǎn)C的高度為8米，AD和A＇D＇是兩側(cè)高為5.5米的支柱，OA和OA＇為兩個方向的汽車通行區(qū)，寬都為15米，線段CD和C＇D＇為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1∶4.
求（1）橋拱DGD＇所在拋物線的解析式及CC＇的長；
（2）BE和B＇E＇為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB和A＇B＇為兩個方
向的行人及非機(jī)動車通行區(qū)，試求AB和A＇B＇的寬；
（3）按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米，車
載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米，它能否從OA（或OA＇）區(qū)域安全通過？請說明理由.
圖代13-3-17
36.已知：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（a<b）.O
為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB為直徑作⊙O1和⊙O2在y軸的哪一側(cè)？簡要說明理由，并指出兩圓的位置關(guān)系.
37.如果拋物線與x軸都交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在x軸
的正半軸上，B點(diǎn)在x同的負(fù)半軸上，OA的長是a，OB的長是b.
（1）求m的取值范圍；
（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)是M，問：拋物線上是否存在
點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
38.已知：如圖代13-3-18，EB是⊙O的直徑，且EB=6，在BE的延長線上取點(diǎn)P，使EP=EB.A
是EP上一點(diǎn)，過A作⊙O的切線AD，切點(diǎn)為D，過D作DF⊥AB于F，過B作AD的垂線BH，交AD的延長線于H，連結(jié)ED和FH.
圖代13-3-18
（1）若AE=2，求AD的長.
（2）當(dāng)點(diǎn)A在EP上移動（點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合）時，①是否總有？試證明
你的結(jié)論；②設(shè)ED=x，BH=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.
39.已知二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為
A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊），與y軸的交點(diǎn)為C.
（1）若△ABC為Rt△，求m的值；
（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；
（3）設(shè)△ABC的面積為S，求當(dāng)m為何值時，S有最小值，并求這個最小值.
40.如圖代13-3-19，在直角坐標(biāo)系中，以AB為直徑的⊙C交x軸于A，交y軸于B，
滿足OA∶OB=4∶3，以O(shè)C為直徑作⊙D，設(shè)⊙D的半徑為2.
圖代13-3-19
（1）求⊙C的圓心坐標(biāo).
（2）過C作⊙D的切線EF交x軸于E，交y軸于F，求直線EF的解析式.
（3）拋物線（a≠0）的對稱軸過C點(diǎn)，頂點(diǎn)在⊙C上，與y軸交點(diǎn)
為B，求拋物線的解析式.
41.已知直線和，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M.
（1）若M恰在直線與的交點(diǎn)處，試證明：無論m取何實(shí)數(shù)值，
二次函數(shù)的圖象與直線總有兩個不同的交點(diǎn).
（2）在（1）的條件下，若直線過點(diǎn)D（0，-3），求二次函數(shù)
的表達(dá)式，并作出其大致圖象.
圖代13-3-20
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x同
的左交點(diǎn)為A，試在直線上求異于M點(diǎn)P，使P在△CMA的外接圓上.
42.如圖代13-3-20，已知拋物線與x軸從左至右交于A，B兩點(diǎn)，
與y軸交于點(diǎn)C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求四邊形ABPC的面積.
參 考 答 案
動腦動手
1.設(shè)每件提高x元（0≤x≤10），即每件可獲利潤（2+x）元，則每天可銷售（100-10x）
件，設(shè)每天所獲利潤為y元，依題意，得
∴當(dāng)x=4時（0≤x≤10）所獲利潤最大，即售出價為14元，每天所賺得最大利潤360元.
2.∵，
∴當(dāng)x=0時，y=4.
當(dāng)時.
即拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，4），與x軸的交點(diǎn)為A（3，0），.
（1）當(dāng)AC=BC時，
.
∴
（2）當(dāng)AC=AB時，
.
∴ .
∴ .
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
（3）當(dāng)AB=BC時，
，
∴ .
∴ .
可求拋物線解析式為：或.
3.（1）∵
圖代13-3-21
∴不論m取何值，拋物線與x軸必有兩個交點(diǎn).
令y=0，得
，
∴ .
∴兩交點(diǎn)中必有一個交點(diǎn)是A（2，0）.
（2）由（1）得另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)是（m2+3,0）.
，
∵ m2+10>0，∴d=m2+1.
（3）①當(dāng)d=10時，得m2=9.
∴ A（2，0），B（12，0）.
.
該拋物線的對稱軸是直線x=7，頂點(diǎn)為（7，-25），∴AB的中點(diǎn)E（7，0）.
過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，連結(jié)PE，
則，
∴ . ①
∵點(diǎn)PD在拋物線上，
∴ . ②
解①②聯(lián)合方程組，得.
當(dāng)b=0時，點(diǎn)P在x軸上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.
注：求b的值還有其他思路，請讀者探覓，寫出解答過程.
②△ABP為銳角三角形時，則-25≤b<-1；
△ABP為鈍角三角形時，則b>-1，且b≠0.
同步題庫
一、填空題
1.； 2.； 3.； 4.
； 5.互為相反數(shù)； 6.y軸，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x>-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，； 10.向下，（h,0），x=h； 11.-1，-2； 12.x<-1； 13.-17，（2，3）； 14.； 15.10.
二、選擇題
16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.
C 29.A 30.D
三、解答題
31.解法一：依題意，設(shè)M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，則x1，x2為方程x2+2ax-2b+1=0
的兩個實(shí)數(shù)根，
∴ ，?.
∵x1，x2又是方程的兩個實(shí)數(shù)根，
∴ x1+x2=a-3，x1?x2=1-b2.
∴
解得 或
當(dāng)a=1,b=0時，二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，
∴a=1，b=0舍去.
當(dāng)a=1；b=2時，二次函數(shù)和符合題意.
∴ a=1，b=2.
解法二：∵二次函數(shù)的圖象對稱軸為，
二次函數(shù)的圖象的對稱軸為，
又兩個二次函數(shù)圖象都經(jīng)過x軸上兩個不同的點(diǎn)M，N，
∴兩個二次函數(shù)圖象的對稱軸為同一直線.
∴ .
解得 .
∴兩個二次函數(shù)分別為和.
依題意，令y=0，得
，
.
①+②得
.
解得 .
∴ 或
當(dāng)a=1，b=0時，二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，
∴a=1，b=0舍去.
當(dāng)a=1，b=2時，二次函數(shù)為和符合題意.
∴ a=1，b=2.
32.解：∵的圖象與x軸交于點(diǎn)B（x1，0），C（x2，0），
∴ .
又∵即，
∴ . ①
又由y的圖象過點(diǎn)A（2，4），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則有
4a+2b+c=4， ②
. ③
解由①②③組成的方程組得
a=-1,b=1,c=6.
∴ y=-x2+x+6.
與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），（3，0）.
與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，6）.
設(shè)y軸上存在點(diǎn)P，使得△POB∽△DOC，則有
（1）當(dāng)B（-2，0），C（3，0），D（0，6）時，有
.
∴OP=4，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）.
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）時，可設(shè)過P，B兩點(diǎn)直線的解析式為
y=kx+4.
有 0=-2k-4.
得 k=-2.
∴ y=-2x-4.
或 .
∴OP=1，這時P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）或（0，-1）.
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時，可設(shè)過P，B兩點(diǎn)直線的解析式為
y=kx+1.
有 0=-2k+1.
得 .
∴ .
當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1）時，可設(shè)過P，B兩點(diǎn)直線的解析式為
y=kx-1，
有 0=-2k-1，
得 .
∴ .
（2）當(dāng)B（3，0），C（-2，0），D（0，6）時，同理可得
y=-3x+9，
或 y=3x-9，
或 ，
或 .
33.解：（1）在直線y=k(x-4)中，
令y=0，得x=4.
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）.
∴ ∠ABC=90°.
∵ △CBD∽△BAO，
∴，即OB2=OA?OC.
又∵ CO=1，OA=4，
∴ OB2=1×4=4.
∴ OB=2（OB=-2舍去）
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）.
將點(diǎn)B（0，2）的坐標(biāo)代入y=k(x-4)中，得.
∴直線的解析式為：.
（2）解法一：設(shè)拋物線的解析式為，函數(shù)圖象過A（4，0），B（0，
2），得
解得
∴拋物線的解析式為：.
解法二：設(shè)拋物線的解析式為：，又設(shè)點(diǎn)A（4，0）關(guān)于x=-1的對
稱是D.
∵ CA=1+4=5，
∴ CD=5.
∴ OD=6.
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）.
將點(diǎn)A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入拋物線方程，得
解得 .
∴拋物線的解析式為：.
34.解：（1）A，B的橫坐標(biāo)是方程的兩根，設(shè)為x1,x2（x2>x1），C的
縱坐標(biāo)是C.
又∵y軸與⊙O相切，
∴ OA?OB=OC2.
∴ x1?x2=c2.
又由方程知
，
∴，即ac=1.
（2）連結(jié)PD，交x軸于E，直線PD必為拋物線的對稱軸，連結(jié)AD、BD，
圖代13-3-22
∴ .
.
∵ a>0,x2>x1，
∴ .
.
又 ED=OC=c，
∴ .
（3）設(shè)∠PAB=β，
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為，又∵a>0，
∴在Rt△PAE中，.
∴ .
∴ tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.
∵ ∠ADE+∠DAE=90°
∴PA和⊙D相切.
35.解：（1）設(shè)DGD＇所在的拋物線的解析式為
，
由題意得G（0，8），D（15，5.5）.
∴ 解得
∴DGD＇所在的拋物線的解析式為.
∵且AD=5.5,
∴ AC=5.5×4=22(米).
∴ ）
=74（米）.
答：cc＇的長為74米.
（2）∵ ，
∴ BC=16.
∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.
答：AB和A＇B＇的寬都是6米.
（3）在中，當(dāng)x=4時，
.
∵ >0.
∴該大型貨車可以從OA（OA＇）區(qū)域安全通過.
36.解:（1）∵⊙O1與⊙O2外切于原點(diǎn)O，
∴A，B兩點(diǎn)分別位于原點(diǎn)兩旁，即a<0，b>0.
∴方程的兩個根a，b異號.
∴ab=m+2<0，∴m<-2.
（2）當(dāng)m<-2，且m≠-4時，四邊形PO1O2Q是直角梯形.
根據(jù)題意，計(jì)算得（或或1）.
m=-4時，四邊形PO1O2Q是矩形.
根據(jù)題意，計(jì)算得（或或1）.
（3）∵ >0
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
∵ m>-2，
∴
∴ a>0，b>0.
∴⊙O1與⊙O2都在y軸右側(cè)，并且兩圓內(nèi)切.
37.解：（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x1，0）、（x2，0），
∵A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，
∴ x1x2<0，即-（m+1）<0，
解得 m>-1.
∵
當(dāng)m>-1時，Δ>0，
∴m的取值范圍是m>-1.
（2）∵a∶b=3∶1，設(shè)a=3k，b=k（k>0），
則 x1=3k，x2=-k，
∴
解得 .
∵時，（不合題意，舍去），
∴ m=2
∴拋物線的解析式是.
（3）易求拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)是A（3，0），B（-1，0）
與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是C（0，3），頂點(diǎn)坐標(biāo)是M（1，4）.
設(shè)直線BM的解析式為，
則
解得
∴直線BM的解析式是y=2x+2.
設(shè)直線BM與y軸交于N，則N點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），
∴
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x,y），
∵ ，
∴ .
即 .
∴ .∴.
當(dāng)y=4時，P點(diǎn)與M點(diǎn)重合，即P（1，4），
當(dāng)y=-4時，-4=-x2+2x+3，
解得 .
∴滿足條件的P點(diǎn)存在.
P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），.
38.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴ AD2=AE?AB=2×（2+6）=16.
∴ AD=4.
圖代13-2-23
（2）①無論點(diǎn)A在EP上怎么移動（點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合），總有.
證法一：連結(jié)DB，交FH于G，
∵AH是⊙O的切線，
∴ ∠HDB=∠DEB.
又∵BH⊥AH，BE為直徑，
∴ ∠BDE=90°
有 ∠DBE=90°-∠DEB
=90°-∠HDB
=∠DBH.
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴ △DFB∽△DHB.
∴BH=BF， ∴△BHF是等腰三角形.
∴BG⊥FH，即BD⊥FH.
∴ED∥FH，∴.
圖代13-3-24
證法二：連結(jié)DB，
∵AH是⊙O的切線，
∴ ∠HDB=∠DEF.
又∵DF⊥AB，BH⊥DH，
∴ ∠EDF=∠DBH.
以BD為直徑作一個圓，則此圓必過F，H兩點(diǎn)，
∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.
∴ ED∥FH.
∴ .
②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.
又∵DF是Rt△BDE斜邊上的高，
∴ △DFE∽△BDE，
∴，即.
∴，即.
∵點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合，∴ED=x>0.
A從E向左移動，ED逐漸增大，當(dāng)A和P重合時，ED最大，這時連結(jié)OD，則OD⊥PH.
∴ OD∥BH.
又 ，
，
∴ ，
由ED2=EF?EB得
，
∵x>0，∴.
∴ 0<x≤.
（或由BH=4=y，代入中，得）
故所求函數(shù)關(guān)系式為（0<x≤）.
39.解：∵,
∴可得.
（1）∵△ABC為直角三角形，∴，
即，
化得.∴m=2.
（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即.
∴.∴.
過A作AD⊥BC，垂足為D，
∴ AB?OC=BC?AD.
∴ .
∴ .
圖代13-3-25
（3）
∵ ，
∴當(dāng)，即時，S有最小值，最小值為.
40.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D的半徑為2，
∴⊙C過原點(diǎn)，OC=4，AB=8.
A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為.
∴⊙C的圓心C的坐標(biāo)為.
（2）由EF是⊙D切線，∴OC⊥EF.
∵ CO=CA=CB，
∴ ∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.
∴ Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.
∴ .
∴ .
E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴切線EF解析式為.
（3）①當(dāng)拋物線開口向下時，由題意，得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得
∴ .
②當(dāng)拋物線開口向上時,頂點(diǎn)坐標(biāo)為，得
∴ .
綜合上述，拋物線解析式為或.
41.（1）證明：由
有 ，
∴ .
∴交點(diǎn).
此時二次函數(shù)為
.
由②③聯(lián)立，消去y，有
.
∴無論m為何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)的圖象與直線總有兩個
不同的交點(diǎn).
圖代13-3-26
（2）解：∵直線y=-x+m過點(diǎn)D（0，-3），
∴ -3=0+m，
∴ m=-3.
∴M（-2，-1）.
∴二次函數(shù)為
.
圖象如圖代13-3-26.
（3）解：由勾股定理，可知△CMA為Rt△，且∠CMA=Rt∠，
∴MC為△CMA外接圓直徑.
∵P在上，可設(shè)，由MC為△CMA外接圓的直徑，P在這個圓上，
∴ ∠CPM=Rt∠.
過P分別作PN⊥y，軸于N，PQ⊥x軸于R，過M作MS⊥y軸于S，MS的延長線與PR的
延長線交于點(diǎn)Q.
由勾股定理，有
，即.
.
.
而 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
.
∴ .
而n2=-2即是M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與題意不合，應(yīng)舍去.
∴ ，
此時 .
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為.
42.解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)A（x1，0）、點(diǎn)（x2，0），且C（0，b），x1<0，x2>0，b>0，
∵x1，x2是方程的兩根，
∴ .
在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC2=OA?OB.
∵ OA=-x1,OB=x2，
∴ b2=-x1?x2=b.
∵b>0,∴b=1，∴C（0，1）.
（2）在Rt△AOC的Rt△BOC中，
.
∴ .
∴拋物線解析式為.
圖代13-3-27
（3）∵，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)時，.
∴.
延長PC交x軸于點(diǎn)D，過C，P的直線為y=x+1，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，0）.
∴
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