Question

已知函數(shù)f(x)=1nx+x-

a

x

(a≥-2)，g(x)=ex-x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）≥3恒成立．
（Ⅰ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求證：f（x）+g（x）＞4．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定定義域，求g'（x），由 g'（x）＞0求得增區(qū)間，由 g'（x）＜0求得減區(qū)間；
（Ⅱ）利用在區(qū)間D上，a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）_min求解；
（Ⅲ）利用構(gòu)造法，構(gòu)造新函數(shù)求解．

解答： 解：（Ⅰ）g'（x）=e^x-1，g'（x）＜0⇒x＜0，g'（x）＞0⇒x＞0，
∴g（x）的減區(qū)間是（-∞，0），增區(qū)間是（0，+∞）．
（Ⅱ）f(x)=lnx+x-

a

x

≥3恒成立，即

a

x

≤lnx+x-3，
∵x＞0，∴a≤xlnx+x²-3x恒成立．
設(shè)h（x）=xlnx+x²-3x，（x＞0），h'（x）=lnx+2x-2，
由于h'（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且h'（1）=0，
∴x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（1）=-2，從而若a≤xlnx+x²-3x恒成立，必有a≤-2．
又∵a≥-2，
∴a的取值集合為{-2}．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，g（x）≥g（0）=1，即e^x-x≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，
∴x＞0時(shí)，有e^x＞x+1．
∴f(x)+g(x)=lnx+ex+

2

x

＞lnx+x+1+

2

x

，
設(shè)F(x)=lnx+x+1+

2

x

(x＞0)，
則F′(x)=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)，
∴F（x）≥F（1）=4，
即f（x）+g（x）＞4成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值等問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力及構(gòu)造函數(shù)法解決問(wèn)題的能力，屬難題．