Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（acosB+bcosA）cos2C=c•cosC．
（1）求角C；
（2）若b=2a，△ABC的面積S=

3

2

sinA•sinB，求sinA及邊c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將b=2a，cosC的值代入得到c=

7

a，利用正弦定理化簡，將sinC的值代入求出sinA的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，代入S=

3

2

sinA•sinB，變形得到

ab

sinAsinB

=

3

sinC

，再利用正弦定理列出關(guān)系式，變形即可求出c的值．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡得：（sinAcosB+sinBcosA）cos2C=sinCcosC，
整理得：sin（A+B）cos2C=sinCcosC，即sinCcos2C=sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cos2C=cosC，即2cos²C-cosC-1=0，
整理得：（2cosC+1）（cosC-1）=0，
∴cosC=-

1

2

或cosC=1，
又0＜C＜π，
∴cosC=-

1

2

，
∴C=

2π

3

；
（2）∵b=2a，cosC=-

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+（2a）²-2a•（2a）•（-

1

2

）=7a²，
∴c=

7

a，
又由正弦定理得：sinC=

7

sinA，
∵sinC=

3

2

，
∴sinA=

21

14

，
∵S=

1

2

absinC，S=

3

2

sinA•sinB，
∴

1

2

absinC=

3

2

sinA•sinB，即

ab

sinAsinB

=

3

sinC

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴（

c

sinC

）²=

a

sinA

•

b

sinB

=

ab

sinAsinB

=

3

sinC

=

3

3 2

=2，
則c=

2

sin

2π

3

=

6

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．