Question

已知函數(shù)f（x）在R奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（x）在閉區(qū)間[

1

2

，m]最大值為-

3

4

，最小值為-1，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意設(shè)x＜0，利用已知的解析式求出f（-x）=x²+2x，再由f（x）=-f（-x），求出x＜0時的解析式即可；
（2）配方，利用f（x）在閉區(qū)間[

1

2

，m]的最大值為-

3

4

最小值為-1，f（1）=-1，f（

1

2

）=-

3

4

，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得：設(shè)x＜0，則-x＞0；
∵當x≥0時，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=x²+2x，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴x＜0時f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

；
（2）當x≥0時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
∵f（x）在閉區(qū)間[

1

2

，m]的最大值為-

3

4

，最小值為-1，f（1）=-1，f（

1

2

）=-

3

4

∴m的取值范圍為[1，

3

2

]．

點評：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)的最值，把x的范圍轉(zhuǎn)化到已知的范圍內(nèi)求對應(yīng)的解析式是關(guān)鍵．