Question

如圖，已知PE是⊙O的切線，切點為E，PAB，PCD都是⊙O的割線，且PAB經(jīng)過圓心O，過點P直線與直線BC，BD分別交于點M，N，且PE²=PM•PN．
（Ⅰ）求證D，C，M，N四點共圓；
（Ⅱ）求證PB⊥PN．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明D，C，M，N四點共圓，只需證明∠DCM+∠PND=180°；
（Ⅱ）證明PB⊥PN，只需證明∠BPN=90°，由圓周角定理可證．

解答： 證明：（Ⅰ）∵PE是⊙O的切線，∴PE²=PC•PD，
又∵PE²=PM•PN，
∴

PC

PM

=

PN

PD

，
又∵∠CPM=∠NPD，
∴△PCM∽△PND，
∴∠PCM=∠PND，
∴∠DCM+∠PND=180°，
∴D，C，M，N四點共圓．---------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BCD=∠PND，
由圓周角定理得∠BCD+∠NBP=90°，∠PND+∠NBP=90°，
∴∠BPN=90°，∴PB⊥PN．-------------（10分）

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切割線定理，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，綜合性比較強，有一定的難度．