Question

已知等差數(shù)列{a_n}，a₁+a₃+a₅=42，a₄+a₆+a₈=69；等比數(shù)列{b_n}，b₁=2，log₂（b₁b₂b₃）=6．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n-b_n，求數(shù)列{|c_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的性質(zhì)及已知可分別求得a₃=14，a₆=23，進(jìn)而可求d，由通項(xiàng)公式可得a_n；設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由log₂（b₁b₂b₃）=6，得b₁b₂b₃=2⁶，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b₂=4，則q=

b2

b1

=

4

2

=2，由通項(xiàng)公式可得b_n；
（Ⅱ）易求c_n=a_n-b_n=（3n+5）-2ⁿ，由c_n+1-c_n=[3（n+1）+5]-2ⁿ⁺¹-（3n+5）+2ⁿ=3-2ⁿ的符號(hào)可判斷{c_n}的前4項(xiàng)為正，從第5項(xiàng)開始往后各項(xiàng)為負(fù)，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，利用等差、等比數(shù)列的求和公式可求S_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n），然后分n≤4，n≥5兩種情況討論可求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁+a₃+a₅=3a₃=42，∴a₃=14，
a₄+a₆+a₈=3a₆=69，∴a₆=23，
∴d=

23-14

3

=3．
a_n=a₃+（n-3）d=14+（n-3）•3=3n+5．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由log₂（b₁b₂b₃）=6，得b₁b₂b₃=2⁶，即b23=26，∴b₂=4，
則q=

b2

b1

=

4

2

=2，
∴bn=2•2n-1=2n．
（Ⅱ）c_n=a_n-b_n=（3n+5）-2ⁿ，
c_n+1-c_n=[3（n+1）+5]-2ⁿ⁺¹-（3n+5）+2ⁿ=3-2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，c₂-c₁=1＞0，c₂＞c₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，3-2ⁿ＜0，c_n+1＜c_n，
又c₁=6，c₂=7，c₃=6，c₄=1，c₅=-12，…
∴{c_n}的前4項(xiàng)為正，從第5項(xiàng)開始往后各項(xiàng)為負(fù)，
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）
=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=

n(3n+13)

2

-

2(1-2n)

1-2

=

3n2+13n

2

-（2ⁿ⁺¹-2），
∴當(dāng)n≤4時(shí)，T_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|
=c₁+c₂+…+c_n=S_n=

3n2+13n

2

-2n+1+2；
當(dāng)n≥5時(shí)，T_n=c₁+c₂+c₃+c₄-（c₅+c₆+…+c_n）
=S₄-（S_n-S₄）=2S₄-S_n
=40-（

3n2+13n

2

-2n+1+2）=38-

3n2+13n

2

+2n+1．
∴Tn=

3n2+13n 2 -2n+1+2，n≤4 38- 3n2+13n 2 +2n+1，n≥5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查分類討論思想，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．