Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x+a|
（1）a=-3時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a=-3時，由f（x）=|2x+1|+|2x-3|≤6，通過對x取值范圍的討論，去掉原不等式中的絕對值符號，解相應(yīng)的一次不等式，最后取其并即可；
（2）利用絕對值不等式的幾何意義，可得|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-（2x+a）|=|1-a|，從而可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a=-3時，f（x）=|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴

x＞ 3 2 (2x+1)+(2x-3)≤6

或

- 1 2 ≤x≤ 3 2 (2x+1)-(2x-3)≤6

或

x＜- 1 2 -(2x+1)-(2x-3)≤6

，
解得

3

2

＜x≤2或-

1

2

≤x≤

3

2

或-1≤x＜-

1

2

，
即原不等式的解集為：{x|-1≤x≤2}…（5分）
（2）∵|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1-（2x+a）|=|1-a|，
∴a＜

1

2

…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查通過分類討論去掉原不等式中絕對值符號的應(yīng)用，考查恒成立問題與運算求解能力，屬于中檔題．