Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a-c=

6

6

b，sinB=

6

sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A-

π

6

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知第二個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，代入第一個(gè)等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a，b代入計(jì)算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin2A與cos2A的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）將sinB=

6

sinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：b=

6

c，
代入a-c=

6

6

b，得：a-c=c，即a=2c，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

6c2+c2-4c2

2 6 c2

=

6

4

；
（Ⅱ）∵cosA=

6

4

，A為三角形內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

10

4

，
∴cos2A=2cos²A-1=-

1

4

，sin2A=2sinAcosA=

15

4

，
則cos（2A-

π

6

）=cos2Acos

π

6

+sin2Asin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．