Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知公差d=2，a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a 

n(n+1)

2

，記T_n=-b₁+b₂-b₃+b₄-…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由于a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，可得

a

2 2

=a1a4，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b_n=a 

n(n+1)

2

=n（n+1），因此T_n=-b₁+b₂-b₃+b₄-…+（-1）ⁿb_n=-1×（1+1）+2×（2+1）-…+（-1）ⁿn•（n+1）．對(duì)n分奇偶討論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，
∴

a

2 2

=a1a4，
∵在等差數(shù)列{a_n}中，公差d=2，
∴(a1+d)2=a1(a1+3d)，即(a1+2)2=a1(a1+3×2)，
化為2a1=22，解得a₁=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵b_n=a 

n(n+1)

2

=n（n+1），
∴T_n=-b₁+b₂-b₃+b₄-…+（-1）ⁿb_n=-1×（1+1）+2×（2+1）-…+（-1）ⁿn•（n+1）．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，b_2k-b_2k-1=2k（2k+1）-（2k-1）（2k-1+1）=4k
T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_2k-b_2k-1）
=4（1+2+…+k）=4×

k(k+1)

2

=2k（k+1）=

n(n+2)

2

．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_2k-2-b_2k-3）-b_2k-1
=

(n-1)(n+1)

2

-n（n+1）
=-

(n+1)2

2

．
故T_n=

n(n+2) 2 ，n=2k(k∈N*) - (n+1)2 2 ，n=2k-1(k∈N*)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論思想方法，屬于中檔題．