Question

2014年“五一節(jié)”期間，高速公路車輛較多，交警部門通過路面監(jiān)控裝置抽樣調(diào)查某一山區(qū)路段汽車行駛速度，采用的方法是：按到達(dá)監(jiān)控點(diǎn)先后順序，每隔50輛抽取一輛，總共抽取120輛，分別記下其行車速度，將行車速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)圖解答下列問題：
（Ⅰ）求a的值，并說明交警部門采用的是什么抽樣方法？
（Ⅱ）求這120輛車行駛速度的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.1）；
（Ⅲ）若該路段的車速達(dá)到或超過90km/h即視為超速行駛，試根據(jù)樣本估計(jì)該路段車輛超速行駛的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,收集數(shù)據(jù)的方法,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為1求得a值，根據(jù)相同抽樣方法的特征判斷其抽樣方法；
（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求眾數(shù)；根據(jù)中位數(shù)是從左數(shù)小矩形面積和為0.5的矩形底邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)求中位數(shù)；
（III）利用直方圖求出樣本中車速在[90，95）頻數(shù)，利用個(gè)數(shù)比求超速車輛的概率．

解答： 解：（I）由頻率分布直方圖知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，
∴a=0.06，
該抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；
（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴眾數(shù)為77.5；
∵前三個(gè)小矩形的面積和為0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，
第四個(gè)小矩形的面積為0.06×5=0.3，
∴中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為75+x，則0.325+0.06×x=0.5⇒x≈2.9，
∴數(shù)據(jù)的中位數(shù)為77.9；
（III）樣本中車速在[90，95）有0.005×5×120=3（輛），
∴估計(jì)該路段車輛超速的概率P=

3

120

=

1

40

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由樣本估計(jì)總體的思想，考查了由頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)，考查了古典概型的概率計(jì)算，是概率統(tǒng)計(jì)的常見題型，解答要細(xì)心．