2009年浙江省嵊泗中學(xué)高三數(shù)學(xué)調(diào)測試卷
數(shù)學(xué)(理科)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。
1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )
A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.等差數(shù)列、等比數(shù)列
中,
,則
前5項的和
為 ( )
(A)5 (B)20 (C)10 (D)40
3、函數(shù)與
在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是( )
4、設(shè)隨機變量
,若
,
則的值等于( )
A. B.
C.
D.
5.如果執(zhí)行右面的程序框圖,那么輸出的( 。
A.2450 B.2500
C.2550 D.2652
6、已知相交直線都在平面
內(nèi),并且都不在平面
內(nèi),若
中至少有一條與平面
相交;q:平面
與
相交,則p是q的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7、已知函數(shù)的圖象為
,則下列命題中正確個數(shù)( )
①函數(shù)的周期為
;
②函數(shù)
在區(qū)間
的最小值為
;
③圖象關(guān)于直線
對稱; ④圖象
關(guān)于點
對稱.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
8.已知函數(shù),則
的大小關(guān)系為( )
A.
B.
C. D.
9、數(shù)列滿足
,使得
恒成立,則非零整數(shù)
的值等于( 。
A. B.
C.
D
10.已知且A中有三個元素,若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列,則這樣的集合A共有( 。
A.個 B.
個 C.
個 D.
個
二、填空題:本大題有7小題,每小題4分,共28分。
11、已知的展開式中
項的系數(shù)為3,則實數(shù)
的值為 .
12、在中,已知
,則
的值為
13、△ABC中,,
,則
的最小值是 .
14、若經(jīng)過點P(-1,0)的直線與圓相切,則這條直線在y軸上的截距是 .則經(jīng)過原點的切線長等于
15、當(dāng)實數(shù)滿足
時,變量
的取值范圍是
16、一個正四棱柱的底面邊長為8,高為6,在其內(nèi)部的底面上放入四個大小相同的球,使相鄰的兩球彼此相切,并且都與相鄰的側(cè)面相切,在這四個球的上面再放一個球,使這個球在正四棱柱內(nèi)部,則這個球的半徑的最大值為
17、已知,且方程
無實數(shù)根,下列命題中:
①方程也一定沒有實數(shù)根;
②若,則不等式
對一切實數(shù)
都成立;
③若,則必存在實數(shù)
,使
④若,則不等式
對一切實數(shù)
都成立.
正確命題的序號是 .(把你認(rèn)為正確的命題的所有序號都填上)
三、解答題:本大題有5小題,18至21每小題14分,22題16分,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
18. (本題滿分14分)某選手在電視搶答賽中答對每道題的概率都是,答錯每道題的概率都是,答對一道題積1分,答錯一道題積-1分,答完n道題后的總積分記為Sn
(Ⅰ)答完2道題后,求同時滿足S1=1且S2≥0的概率;
(Ⅱ)答完3道題后,設(shè)ξ=S3,求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望
19.(本題滿分14分)如圖,正三棱柱中,
是
中點.
(1)求證:
//平面
;
(2)
當(dāng)為何值時,二面角
的正弦值為
?
20(本小題滿分14分).如圖,給出定點
(a是大于零的常數(shù))和動直線
(
).B是直線l上的一個動點,
的角平分線交AB于點C.
(1)試確定點B的位置,使;
(2)當(dāng)時,求點C的軌跡方程,并說明當(dāng)
時;
時及
的軌跡各是什么曲線?
21(本小題滿分14分)函數(shù),(其中
為實常數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).)
(1)當(dāng)時,求
的極值;
(2)若在區(qū)間
上的最大值為-3,求
的值;
(3)當(dāng)時,試推斷方程
是否有實數(shù)解.
22. (本小題滿分16分)已知c為正實數(shù),數(shù)列滿足
,
(
).
(1)證明:(
);
(2)t是滿足的正實數(shù),記
(
),數(shù)列
的前n項和為
,
證明:(
);
(3)若,記
(
),求數(shù)列
的通項公式.
2009年浙江省嵊泗中學(xué)高三數(shù)學(xué)調(diào)測試卷
一、選擇題 ACCBC BBCCD
二、填空題:,
,
,
,
,
,①②④
18(Ⅰ)由題意“且
”表示“答完
題,第一題答對,第二題答錯;或第一題答對,第二題也答對” 此時概率
…6分
(Ⅱ)P()=
=
, P(
)=
=
,………9分
-3
-1
1
3
P()=
=
,
P(
)=
=
∴的分布列為
12分
∴
……14分
19解:(Ⅰ) 連接交
于點
,連接
.
在中,
分別為
中點,
.
平面
,
平面
,
平面
. …………(6分)
(Ⅱ) 法一:過作
于
,由三垂線定理得
,
故∠為二面角
的平面角. ……………………………………(9分)
令,則
,又
,
在△
中,
,
解得。
當(dāng)
時,二面角
的正弦值為
. ………………(14分)
法二:設(shè),取
中點
,連接
,
以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,如右圖所示:
則,
則.
設(shè)平面的法向量為
,平面
的法向量為
,
則有,
,即
,
,
設(shè),則
,
,解得
.
即當(dāng)
時,二面角
的正弦值為
. …………………(14分)
20.(1) ;
(2)軌跡方程為(
)
(1)當(dāng)時,軌跡方程為
(
),表示拋物線弧段。
(2)當(dāng)時,軌跡方程為
,
A)當(dāng)表示橢圓弧段; B)當(dāng)
時表示雙曲線弧段。
21.
Ⅰ) …………(2分)
令,則
當(dāng)時,
;當(dāng)
時
故有極大值…………(4分)
Ⅱ)∵=a+
,x∈(0,e),
∈[
,+∞
(1)若a≥-,則
≥0,從而f(x)在(0,e)上增函數(shù).
∴f(x)max =f(e)=ae+1≥0.不合題意. …………………………………7分
(2)若a<-,
>
a+
>0,即0<x<-
由a+
<0,即-
<x≤e.
∴f(x)=f(-
)=-1+ln(-
).
令-1+ln(-)=-3,則ln(-
)=-2.∴-
=e
,
即a=-e2. ∵-e2<-,∴a=-e2為所求. ……………………………10分
Ⅲ)由Ⅰ)結(jié)論,=f(1)=-1.∴f(x)=-x+lnx≤-1,從而lnx≤x-1.
令g(x)=|f(x)|--
=x-lnx-
-
=x-(1+
)lnx-
……12分
(1)當(dāng)0<x<2時,有g(shù)(x)≥x-(1+)(x-1)-
=
-
>0.
(2)當(dāng)x≥2時,g′(x)=1-[(-)lnx+(1+
)?
]=
=.
∴g(x)在[2,+∞上增函數(shù),∴g(x)≥g(2)=
綜合(1)、(2)知,當(dāng)x>0時,g(x)>0,即|f(x)|>.
故原方程沒有實解. ………………………………16分
22.證明:(I)
①當(dāng), …………2分
②假設(shè),
則時不等式也成立,
…………4分
(II)由,
由
…………5分
又 …………7分
…………8分
(III),
, …………10分
的等比數(shù)列,…………12分
…………14分
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