Question

如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切），已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（　�。�

• A、y=

  1

  2

  x³-

  1

  2

  x²-x
• B、y=

  1

  2

  x³+

  1

  2

  x²-3x
• C、y=

  1

  4

  x³-x
• D、y=

  1

  4

  x³+

  1

  2

  x²-2x

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案．

解答： 解：由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在（0，0）上處與直線y=-x相切，在（2，0）點(diǎn)處與y=3x-6相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線．
A、y′=

3

2

x2-x-1，將0，2代入，解得此時(shí)切線的斜率分別是-1，3，符合題意，故A正確；
B、y′=

3

2

x2+x-3，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為-3，不為-1，故B錯(cuò)誤；
C、y′=

3

4

x2-1，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為-1，與點(diǎn)（2，0）處切線斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；
D、y′=

3

4

x2+x-2，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為-2，與點(diǎn)（0，0）處切線斜率為-1矛盾，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義在實(shí)際問題中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)主要應(yīng)用之一．