Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．對n分類討論“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項和為S_n，
∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d=n²-n+na₁，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴

S

2 2

=S1•S4，
∴(22-2+2a1)2=a1•(42-4+4a1)，化為(1+a1)2=a1(3+a1)，解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

=(-1)n-1•

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
∴T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…+(

1

2n-3

+

1

2n-1

)-(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
當(dāng)n為奇數(shù)時，T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…-(

1

2n-3

+

1

2n-1

)+(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1+

1

2n+1

=

2n+2

2n+1

．
∴Tn=

2n 2n+1 ，n為偶數(shù) 2n+2 2n+1 ，n為奇數(shù)

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力、計算能力、“裂項求和”、分類討論思想方法，屬于難題．