Question

設(shè)θ為兩個(gè)非零向量

a

，

b

的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|

b

+t

a

|的最小值為1．（　　）

• A、若θ確定，則|

  a

  |唯一確定
• B、若θ確定，則|

  b

  |唯一確定
• C、若|

  a

  |確定，則θ唯一確定
• D、若|

  b

  |確定，則θ唯一確定

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,零向量,數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得（

b

+t

a

）²=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2，令g（t）=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2，由二次函數(shù)可知當(dāng)t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ時(shí)，g（t）取最小值1．變形可得|

b

|2sin²θ=1，綜合選項(xiàng)可得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得（

b

+t

a

）²=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2
令g（t）=

a

2t2+2

a

•

b

t+

b

2
可得△=4(

a

•

b

)2-4

a

2

b

2=4

a

2

b

2cos²θ-4

a

2

b

2＜0
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g（t）＞0恒成立
∴當(dāng)t=-

2 a • b

2 a 2

=-

| b |

| a |

cosθ時(shí)，g（t）取最小值1．
即g（-

| b |

| a |

cosθ）=-|

b

|2cos2θ+

b

2=|

b

|2sin²θ=1
故當(dāng)θ唯一確定時(shí)，|

b

|唯一確定，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量級(jí)的運(yùn)算，涉及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．