Question

【題目】設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其中.

（1）求和的表達(dá)式，并求函數(shù)的值域

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根，求常數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）值域為（2）

【解析】

（1）由函數(shù)的奇偶性可得，再結(jié)合條件列方程組求解，進(jìn)而可得，利用函數(shù)單調(diào)性可求得值域；

（2）由題意得方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根，令，則可將方程轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)有唯一實根，利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的值域，進(jìn)而可得常數(shù)的取值范圍.

（1）由已知①，

以代，得，

因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，

所以②，

聯(lián)立①②可得，

，

又，，，于是，

函數(shù)的值域為；

（2）題意即方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根.

顯然不是該方程的根，所以令

由得，則原方程可變形為

易知函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以

且題意轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實根(因為每一個在區(qū)間內(nèi)恰有兩個值與之對應(yīng)).

易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

又時，，

所以（此時每一個，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個值與之對應(yīng)).

綜上所述，所求常數(shù)的取值范圍是.