Question

已知函數(shù)f（x）=sin[ωπ（x+

1

3

）]的部分圖象如圖所示，其中P為函數(shù)圖象的最高點，A，B是函數(shù)圖象與x軸的相鄰兩個交點，若y軸不是函數(shù)f（x）圖象的對稱軸，且tan∠APB=

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，2]，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）過點P作PC⊥x軸于C，則BC=3AC，tan∠BPC=3tan∠APC，易求tan∠APC=1或tan∠APC=

1

3

，分類討論后即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）得f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

），由x∈[1，2]⇒

2π

3

≤

1

2

πx+

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）的取值范圍．

解答： 解：（1）過點P作PC⊥x軸于C，則BC=3AC，tan∠BPC=3tan∠APC，
所以tan∠APB=tan（∠BPC-∠APC）=

2tan∠APC

1+3tan2∠APC

=

1

2

，
解得tan∠APC=1或tan∠APC=

1

3

…2分
若tan∠APC=

1

3

，則AC=

1

3

PC=

1

3

，此時函數(shù)f（x）的最小正周期T=4AC=

4

3

，從而ω=

3

2

．
此時f（x）=sin[

3

2

π（x+

1

3

）]=cos

3π

2

x，可知y軸是其圖象的對稱軸，不合題意，舍去．
若tan∠APC=1，則AC=PC=1，此時函數(shù)f（x）的最小正周期T=4AC=4，從而ω=

1

2

．
此時f（x）=sin[

1

2

π（x+

1

3

）]=sin（

1

2

πx+

π

6

），符合題意．
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

）；…6分
（2）由（1）得f（x）=sin（

1

2

πx+

π

6

），又x∈[1，2]，則

2π

3

≤

1

2

πx+

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin（

1

2

πx+

π

6

）≤

3

2

，…10分
即數(shù)f（x）的取值范圍為[-

1

2

，

3

2

]…12分．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查兩角差的正切，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查綜合運算能力，屬于難題．