Question

已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）當n=2，x∈（0，1]時，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范圍；
（2）試判斷函數f（x）在（

1

2

，1）內零點的個數，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由題意得k≥x-

1

x

+1，令g(x)=x-

1

x

+1，利用導數求得函數的最大值即得結論；
（2）由題意得f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函數，且f（1）=n-1＞0，f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0，故得結論成立．

解答： 解：（1）由f（x）≤kx?x²+x-1≤kx，則k≥x-

1

x

+1，…（2分）
又g(x)=x-

1

x

+1在（0，1]上是增函數，g（x）_max=g（1）=1…（4分）
所以k≥1．…（6分）
（2）f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）是增函數，且f（1）=n-1＞0，…（8分）
f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0…（12分）
所以f（x）在(

1

2

，1)內存在唯一的零點．…（14分）

點評：本題主要考查恒成立問題及函數零點的判斷問題，利用導數判斷函數的單調性、求最值等知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，屬難題．