Question

已知函數f（x）=|x-a|+|x-2|+a．
（1）當a=2時，求f（x）＞4的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）-|x-4|＜0在x∈（1，2）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）當a=2時，f（x）＞4⇒|x-2|＞1，解之即可；
（2）依題意，可求得|x-a|＜2-a在x∈（1，2）時恒成立，轉化為不等式組

a＜2 (x-a)2＜(2-a)2

，可求得a＜

x+2

2

（1＜x＜2）恒成立，從而可得實數a的取值范圍．

解答： （本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
解：（1）當a=2時，由f（x）=2|x-2|+2＞4，得|x-2|＞1，
所以x-2＜-1或x-2＞1，…（2分）
即x＜1或x＞3，
所以f（x）＞4的解集為{x|x＜1或x＞3}； …（4分）
（2）由題意得：|x-a|+|x-2|+a-|x-4|＜0 在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴|x-a|+2-x+a-4+x＜0，…（6分）
即|x-a|＜2-a，∴

a＜2 (x-a)2＜(2-a)2

⇒

a＜2 x2-4＜2a(x-2)

，
又因為x∈（1，2），所以a＜

x+2

2

，
又f（x）-|x-4|＜0區(qū)間（1，2）上恒成立，
所以a≤

3

2

…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想的運用及運算求解能力，屬于中檔題．