Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3a|，（a∈R）
（I）當a=1時，解不等式f（x）＞5-|2x-1|；
（Ⅱ）若存在x₀∈R，使f（x₀）+x₀＜6成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（I）當a=1時，原不等式可化為|x-3|+|2x-1|＞5，通過對x取值范圍的討論，去掉式中的絕對值符號，解相應的不等式，最后取并即可；
（Ⅱ）構造函數(shù)g（x）=f（x）+x=|x-3a|+x，則g（x）=

2x-3a，x≥3a 3a，x＜3a

，易知函數(shù)g（x）=f（x）+x最小值為3a，依題意，解不等式3a＜6即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，不等式f（x）＞5-|2x-1|可化為|x-3|+|2x-1|＞5，
當x＜

1

2

時，不等式為3-x+1-2x＞5，∴x＜-

1

3

，
當

1

2

≤x≤3時，不等式即3-x+2x-1＞5，∴x＞3，所以x∈∅，
當x＞3時，不等式即x-3+2x-1＞5，∴x＞3，
綜上所述不等式的解集為{x|x＜-

1

3

或x＞3}．…（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x=|x-3a|+x，則g（x）=

2x-3a，x≥3a 3a，x＜3a

，
所以函數(shù)g（x）=f（x）+x最小值為3a，
根據(jù)題意可得3a＜6，即a＜2，所以a的取值范圍為（-∞，2）．…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，通過對x取值范圍的討論，去掉式中的絕對值符號是關鍵，考查構造函數(shù)思想與運算求解能力，屬于中檔題．