Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（

1

2

ωx+

π

3

（ω＞0），g（

π

6

）=g（

π

3

）且g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值沒(méi)有最大值，求ω的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式整理，然后利用周期公式求得T．
（2）利用（1）中f（x）的解析式，求得g（x）的表達(dá)式，利用g（

π

6

）=g（

π

3

）推斷出x=

π 6 + π 3

2

為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱軸，且根據(jù)已知為最小值，帶入g（x）求得ω的表達(dá)式，最后根據(jù)g（x）在區(qū)間上有最小值沒(méi)有最大值，判斷出此區(qū)間小于半個(gè)周期，判斷出ω的范圍，最后求得ω．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx-

3

cos²x+

3

sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx-

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
（2）g（x）=f（

1

2

ωx+

π

3

）=2sin（ωx+

2π

3

-

π

3

）=2sin（ωx+

π

3

），
∵g（

π

6

）=g（

π

3

），
∴x=

π 6 + π 3

2

=

π

4

，為函數(shù)g（x）的一個(gè)對(duì)稱軸，
∵g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值沒(méi)有最大值，
∴g（

π

4

）=2sin（

π

4

•ω+

π

3

）=-1，
∴

π

4

•ω+

π

3

=2kπ-

π

2

，則ω=8k-

10

3

，
∵g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值沒(méi)有最大值，
∴

T

2

＞

π

3

-

π

6

，即T＞

π

3

，
∴

2π

ω

＞

π

3

，
∴ω＜6
∴對(duì)于ω=8k-

10

3

，k只能取到1，
即ω=

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．第二步一定要結(jié)合三角函數(shù)的圖象去理解．