Question

如圖已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，點(diǎn)M是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足∠MAN=30°（點(diǎn)A，M，N按逆時(shí)針方向排列）．
（1）若

AN

=2

AC

，求BN的長；
（2）若

AM

•

AN

=3，求△ABN面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

AN

=2

AC

，得點(diǎn)N在射線AC上，AN=4，再利用余弦定理即可得出；
（2）設(shè)∠BAM=x，則∠CAM=120°-x，由于△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，可得AM=

3

2(sinx+ 3 cosx)

，
已知∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，利用數(shù)量積可得：AN=4sinx+2

3

cosx，可得△ABN的面積S=

1

2

(4sinx+2

3

cosx)•sin(x+30°)，再利用倍角公式、兩角和差的正弦公式及其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由

AN

=2

AC

，得點(diǎn)N在射線AC上，AN=4，
BN²=1+16-2×1×4×cos120°=21，即BN=

21

；
（2）設(shè)∠BAM=x，則∠CAM=120°-x，
∵△ABC的面積等于△ABM與△ACM面積的和，
∴

1

2

•AB•AMsinx+

1

2

•AC•AMsin(120°-x)=

1

2

•AB•AC•sin120°，
得：AM=

3

2(sinx+ 3 cosx)

，
又∠MAN=30°，

AM

•

AN

=3，
∴AM•AN•cos30°=3，即AN=4sinx+2

3

cosx，
∴△ABN的面積S=

1

2

(4sinx+2

3

cosx)•sin(x+30°)=

3

sin2x+

3

2

cos2x+

5

2

sinxcosx，
即S=

5

4

sin2x-

3

4

cos2x+

3 3

4

=

2 7

4

sin(2x-φ)+

3 3

4

．
（其中：sinφ=

3

2 7

，cosφ=

5

2 7

（其中φ為銳角），
∴當(dāng)2x-φ=90°時(shí)，△ABN的面積最大，最大值是

2 7 +3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了余弦定理、兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角形的面積公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．