Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-1|+x²+ax，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，求

1

x1

+

1

x2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：常規(guī)題型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，判斷出0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，然后分別把x₁、x₂代入表達(dá)式，消去參數(shù)a，整理出

1

x1

+

1

x2

形式就可以求出范圍．

解答： 解：∵x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)x₁＜x₂，
f（x）=|x²-1|+x²+ax=

1+ax， 0＜x≤1 2x2+ax-1， 1＜x＜2

，
①若1＜x₁＜x₂＜2，即在（0，1）上沒有零點(diǎn)，
要使f（x）在（0，1）上沒有零點(diǎn)，則須1+a＞0，即a＞-1，
這時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，2）上也沒有零點(diǎn)；
所以函數(shù)f（x）兩個(gè)零點(diǎn)不可能都在（1，2）上；
②在（0，1）是一次函數(shù)，函數(shù)f（x）不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．
所必有0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
所以1+ax₁=0，2x22+ax2-1=0
由以上兩式消去a得，2x22-

x2

x1

-1=0
變形得：

1

x1

+

1

x2

=2x2
∵1＜x₂＜2，
∴2＜2x₂＜4，
∴

1

x1

+

1

x2

的取值范圍是（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題的難度較大，題目的突破口不好找，解決本題的關(guān)鍵是①判斷x₁，x₂的取值范圍；②對(duì)表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?/div>