Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和差的正弦公式、倍角公式對解析式進(jìn)行化簡，再由復(fù)合三角函數(shù)的周期公式T=

2π

|ω|

求出此函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡的函數(shù)解析式和條件中x的范圍，求出2x-

π

3

的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出再已知區(qū)間上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos2x+

3

4

=

1

2

sinx•cosx-

3

2

cos2x+

3

4

          
=

1

4

sin2x-

3

4

(1+cos2x)+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x-

π

3

)
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，
由x∈[-

π

4

，

π

4

]得，2x∈[-

π

2

，

π

2

]，則2x-

π

3

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴當(dāng)2x-

π

3

=-

π

2

時(shí)，即sin(2x-

π

3

)=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值是：-

1

2

，
當(dāng)2x-

π

3

=

π

6

時(shí)，即sin(2x-

π

3

)=

1

2

時(shí)，f（x）取到最大值是：

1

4

，
所以，所求的最大值為

1

4

，最小值為-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合三角函數(shù)的周期公式T=

2π

|ω|

應(yīng)用，考查了整體思想和化簡計(jì)算能力，屬于中檔題．