Question

函數f（x）=ln（x+1）-

ax

x+a

（a＞1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a₁=1，a_n+1=ln（a_n+1），證明：

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,數學歸納法

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，通過討論a的取值范圍，即可得到f（x）的單調性；
（Ⅱ）利用數學歸納法即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，
①當1＜a＜2時，若x∈（-1，a²-2a），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（-1，a²-2a）上是增函數，
若x∈（a²-2a，0），則f′（x）＜0，此時函數f（x）在（a²-2a，0）上是減函數，
若x∈（0，+∞），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
②當a=2時，f′（x）＞0，此時函數f（x）在（-1，+∞）上是增函數，
③當a＞2時，若x∈（-1，0），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（-1，0）上是增函數，
若x∈（0，a²-2a），則f′（x）＜0，此時函數f（x）在（0，a²-2a）上是減函數，
若x∈（a²-2a，+∞），則f′（x）＞0，此時函數f（x）在（a²-2a，+∞）上是增函數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a=2時，此時函數f（x）在（-1，+∞）上是增函數，
當x∈（0，+∞）時，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞

2x

x+2

，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，當a=3時，f（x）在（0，3）上是減函數，
當x∈（0，3）時，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜

3x

x+2

，
下面用數學歸納法進行證明

2

n+2

＜a_n≤

3

n+2

成立，
①當n=1時，由已知

2

3

＜a1=1，故結論成立．
②假設當n=k時結論成立，即

2

k+2

＜ak≤

3

k+2

，
則當n=k+1時，a_n+1=ln（a_n+1）＞ln（

2

k+2

+1）＞

2× 2 k+2

2 k+2 +2

=

2

k+3

，
a_n+1=ln（a_n+1）＜ln（

3

k+2

+1）＜

3× 3 k+2

3 k+2 +3

=

3

k+3

，
即當n=k+1時，

2

k+3

＜ak+1≤

3

k+3

成立，
綜上由①②可知，對任何n∈N^•結論都成立．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，以及利用數學歸納法證明不等式，綜合性較強，難度較大．