Question

如圖，O為坐標原點，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e₁；雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點分別為F₃，F(xiàn)₄，離心率為e₂，已知e₁e₂=

3

2

，且|F₂F₄|=

3

-1．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）過F₁作C₁的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C₂交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由斜率公式寫出e₁，e₂，把雙曲線的焦點用含有a，b的代數(shù)式表示，結(jié)合已知條件列關(guān)于a，b的方程組求解a，b的值，則圓錐曲線方程可求；
（Ⅱ）設出AB所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后得到關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到AB中點M的坐標，并由橢圓的焦點弦公式求出AB的長度，寫出PQ的方程，和雙曲線聯(lián)立后解出P，Q的坐標，由點到直線的距離公式分別求出P，Q到AB的距離，然后代入代入三角形面積公式得四邊形APBQ的面積，再由關(guān)于n的函數(shù)的單調(diào)性求得最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知，e1=

1- b2 a2

，e2=

1+ b2 a2

，且|F1F2|=2

a2-b2

．
∵e₁e₂=

3

2

，且|F₂F₄|=

3

-1．
∴

1- b2 a2

•

1+ b2 a2

=

3

2

，且

a2+b2

-

a2-b2

=

3

-1．
解得：a=

2

，b=1．
∴橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1，雙曲線C₂的方程為

x2

2

-y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F₁（-1，0）．
∵直線AB不垂直于y軸，
∴設AB的方程為x=ny-1，
聯(lián)立

x=ny-1 x2 2 +y2=1

，得（n²+2）y²-2ny-1=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則y1+y2=

2n

n2+2

，y0=

n

n2+2

，y1y2=-

1

n2+2

．
則|AB|=

1+n2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+n2

( 2n n2+2 )2+ 4 n2+2

=

2 2 (n2+1)

n2+2

．
∵M在直線AB上，
∴x0=

n2

n2+2

-1=-

2

n2+2

．
直線PQ的方程為y=

y0

x0

x=-

n

2

x，
聯(lián)立

y=- n 2 x x2 2 -y2=1

，得x2-2×(-

n

2

x)2-2=0．
解得x2=

4

2-n2

，代入y=-

n

2

x 得y2=

n2

2-n2

．
由2-n²＞0，得-

2

＜n＜

2

．
∴P，Q的坐標分別為(-

4 2-n2

，

n2 2-n2

)，(

4 2-n2

，-

n2 2-n2

)，
則P，Q到AB的距離分別為：d1=

|n• n2 2-n2 + 4 2-n2 -1|

n2+1

，d2=

|-n• n2 2-n2 - 4 2-n2 -1|

n2+1

．
∵P，Q在直線A，B的兩端，
∴d1+d2=

|2n• n2 2-n2 +2 4 2-n2 |

n2+1

．
則四邊形APBQ的面積S=

1

2

|AB|(d1+d2)=2

2

•

3 2-n2 -1

．
∴當n²=0，即n=0時，四邊形APBQ面積取得最小值2．

點評：本題考查圓錐曲線方程的求法，是直線與圓錐曲線、圓錐曲線與圓錐曲線間的關(guān)系的綜合題，考查了橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是學生要有較強的運算能力，是壓軸題．