Question

對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a²-2ab+b²-c=0且使|2a+b|最大時(shí)，

1

a

+

2

b

+

4

c

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：首先把：4a²-2ab+b²-c=0，轉(zhuǎn)化為

c

4

=(a-

b

4

)2+

3

16

b2，再由柯西不等式得到|2a+b|²，分別用b表示a，c，在代入到

1

a

+

2

b

+

4

c

得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．

解答： 解：∵4a²-2ab+b²-c=0，
∴

c

4

=(a-

b

4

)2+

3

16

b2
由柯西不等式得，
[(a-

b

4

)2+(

3 b

4

)2][22+(2

3

)2]≥[2(a-

b

2

)+

3 b

4

×2

3

]²=|2a+b|²
故當(dāng)|2a+b|最大時(shí)，有

a- b 4

2

=

3 b 4

2 3

∴a=

1

2

b，c=b²
∴

1

a

+

2

b

+

4

c

=

2

b

+

2

b

+

4

b2

=4(

1

b

+

1

2

)2-1
當(dāng)b=-2時(shí)，取得最小值為-1．
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于難題．