Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，A₁B⊥BB₁，
（1）求證：A₁C⊥CC₁；
（2）若AB=2，AC=

3

，BC=

7

，問AA₁為何值時(shí)，三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積最大，并求此最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明直線CC₁與平面BA₁C垂直，即可證明A₁C⊥CC₁；
（2）作AO⊥B 于O，連結(jié)A₁O，說明∠AA₁O=90°，設(shè)A₁A=h，求出A₁O的表達(dá)式，以及三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，求最大值．

解答： 解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴A₁A∥CC₁∥BB₁，
∵AA₁⊥BC，∴CC₁⊥BC，
∵A₁B⊥BB₁，∴A₁B⊥CC₁，
∵BC∩BA₁=B，
∴CC₁⊥平面BA₁C，A₁C?平面BA₁C
∴A₁C⊥CC₁；
（2）作AO⊥B 于O，連結(jié)A₁O，由（1）可知∠AA₁O=90°，∵AB=2，AC=

3

，BC=

7

，∴AB⊥AC，
∴AO=

2 3

7

，
設(shè)A₁A=h，A₁O=

( 2 3 7 )2-h2

=

12 7 -h2

，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積V=S△A1BC•h=

1

2

×

7

×

12 7 -h2

•h=

1

2

12h2-7h4

，
當(dāng)h²=

6

7

，即h=

42

7

時(shí)，即AA₁=

42

7

時(shí)棱柱的體積最大，
最大值為：

3 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，幾何體的體積的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．