Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+3x|，x∈R，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x-1|的圖象利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答： 解：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的圖象，
當a≤0，不滿足條件，
則a＞0，此時g（x）=a|x-1|=

a(x-1) x≥1 -a(x-1) x＜1

，
當-3＜x＜0時，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
當直線和拋物線相切時，有三個零點，
此時-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，解得a=1或a=9，
當a=9時，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此時不成立，∴此時a=1，
要使兩個函數(shù)有四個零點，則此時0＜a＜1，
若a＞1，此時g（x）=-a（x-1）與f（x），有兩個交點，
此時只需要當x＞1時，f（x）=g（x）有兩個不同的零點即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
則由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
綜上a的取值范圍是（0，1）∪（9，+∞），
方法2：由f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
若x=1，則4=0不成立，
故x≠1，
則方程等價為a=

f(x)

|x-1|

=

|x2+3x|

|x-1|

=|

(x-1)2+4(x-1)+5

x-1

|=|x-1+

4

x-1

+5|，
設g（x）=x-1+

4

x-1

+5，
當x＞1時，g（x）=x-1+

4

x-1

+5≥2

(x-1) 4 x-1

+5=4+5=9，當且僅當x-1=

4

x-1

，即x=3時取等號，
當x＜1時，g（x）=x-1+

4

x-1

+5≤5-2

[-(x-1)]• -4 x-1

=5-4=1，當且僅當-（x-1）=-

4

x-1

，即x=-1時取等號，
則|g（x）|的圖象如圖：
若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數(shù)根，
則滿足a＞9或0＜a＜1，
故答案為：（0，1）∪（9，+∞）

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．