Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1．
（Ⅰ）證明{a_n+

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，即

bn+1

bn

=常數(shù)，又首項(xiàng)不為0，所以為等比數(shù)列；
再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)化式，求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將

1

an

進(jìn)行放大，即將分母縮小，使得構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，從而求和，證明不等式．

解答： 證明（Ⅰ）

an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3an+1+ 1 2

an+ 1 2

=

3(an+ 1 2 )

an+ 1 2

=3，
∵a1+

1

2

=

3

2

≠0，
∴數(shù)列{a_n+

1

2

}是以首項(xiàng)為

3

2

，公比為3的等比數(shù)列；
∴a_n+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

，即an=

3n-1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

=

2

3n-1

，
當(dāng)n≥2時(shí)，∵3ⁿ-1＞3ⁿ-3^n-1，∴

1

an

=

2

3n-1

＜

2

3n-3n-1

=

1

3n-1

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，

1

a1

=1＜

3

2

成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴對(duì)n∈N₊時(shí)，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等比數(shù)列，用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列，只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行；數(shù)列與不等式常結(jié)合在一起考，放縮法是常用的方法之一，
通過放大或縮小，使原數(shù)列變成一個(gè)等比數(shù)列，或可以用裂項(xiàng)相消法求和的新數(shù)列．屬于中檔題．