Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（2-x）
（Ⅰ）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x-3）²+y²=1相切，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出切線方程，利用l與圓（x-3）²+y²=1相切，結合點到直線的距離公式，即可求a的值；
（Ⅱ）求導數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，即可求出函數(shù)f（x）的單調性．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
∴f′（1）=1-a  
∴在（1，f（1））處的切線為：y-a=（1-a）（x-1），即（1-a）x-y-1+2a=0，
又已知圓的圓心為（3，0），半徑為1，∴

|3(1-a)-1+2a|

(1-a)2+1

=1，
解得a=1；                                                           …（7分）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域{x|x＞0}，f′（x）=

1

x

-a，
當a≤0時，f′（x）=

1

x

-a＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增
當a＞0，令f′（x）＞0解得0＜x＜

1

a

，令f′（x）＜0解得x＞

1

a

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

a

）上單調遞增，在區(qū)間（

1

a

，+∞）上單調遞減              …（12分）
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

a

）上單調遞增，在區(qū)間（

1

a

，+∞）上單調遞減  …（13分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，正確求導是關鍵．