Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且函數(shù)f(x)=

1

2

lnx+

x

4

在x=a_n處的切線的斜率為

Sn

a 2 n

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

1

a13

+

1

a23

+

1

a33

+…+

1

an3

＜

5

32

(n∈N*)；
（3）是否存在非零整數(shù)λ，使不等式λ(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)…(1-

1

an

)cos

πan+1

2

＜

1

an+1

對一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=a_n處的導(dǎo)數(shù)，即

Sn

a 2 n

，由此得到數(shù)列遞推式，分n=1和n≥2討論得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法得到

1

an3

＜

1

16

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，驗(yàn)證n=1時不等式成立，再利用裂項(xiàng)相消法證得n≥2時不等式成立；
（3）把a(bǔ)_n=2n代入cos

πan+1

2

，并且令b_n=

1

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an ) an+1

，則不等式等價于（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n．作商判斷出數(shù)列{b_n}是增函數(shù)，然后利用單調(diào)性分n為奇偶數(shù)得到λ的取值范圍，則非零整數(shù)λ可求．

解答： （1）解：由f(x)=

1

2

lnx+

x

4

，得f′(x)=

1

2x

+

1

4

，
依題意，

Sn

an2

=f′(an)=

1

2an

+

1

4

，即Sn=

an(an+2)

4

．
當(dāng)n=1時，a1=S1=

a1(a1+2)

4

，解得a₁=2或a₁=0（舍去）．
當(dāng)n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=

an(an+2)

4

-

an-1(an-1+2)

4

，
得an2-an-12=2(an+an-1)，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1≠0，則a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故a_n=2n；
（2）證明：∵

1

an3

=

1

(2n)3

=

1

8n•n2

＜

1

8n(n2-1)

=

1

8(n-1)n(n+1)

=

1

16

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]（n≥2），
∴當(dāng)n≥2時，

1

a13

+

1

a23

+

1

a33

+…+

1

an3

=

1

23

+

1

43

+

1

63

+…+

1

(2n)3

＜

1

23

+

1

16

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]+…+

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]
=

1

8

+

1

16

[

1

2

-

1

n(n+1)

]＜

1

8

+

1

16

×

1

2

=

5

32

．
當(dāng)n=1時，不等式左邊=

1

a13

=

1

8

＜

5

32

顯然成立；
（3）解：由a_n=2n，得cos

πan+1

2

=cos(n+1)π=(-1)n+1，
設(shè)b_n=

1

(1- 1 a1 )(1- 1 a2 )…(1- 1 an ) an+1

，則不等式等價于（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n．

bn+1

bn

=

an+1

(1- 1 an+1 ) an+1+1

=

2n+1

(1- 1 2n+2 ) 2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
∵b_n＞0，
∴b_n+1＞b_n，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增．
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，使得不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜b_n對一切n∈N^*都成立，則
①當(dāng)n為奇數(shù)時，得λ＜(bn)min=b1=

2 3

3

；
②當(dāng)n為偶數(shù)時，得-λ＜(bn)min=b2=

8 5

15

，即λ＞-

8 5

15

．
綜上，λ∈(-

8 5

15

，

2 3

3

)，由λ是非零整數(shù)，知存在λ=±1滿足條件．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式綜合，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用放縮法證明不等式，考查了函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值．屬難度較大的題目．