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        1. 已知橢圓C1的方程為
          x2
          4
          +y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
          (Ⅱ)若直線l:y=kx+
          2
          與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
          OA
          OB
          <6(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
          (Ⅰ)設(shè)雙曲線C2的方程為
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1,則a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1.
          故C2的方程為
          x2
          3
          -y2=1.
          (II)將y=kx+
          2
          代入
          x2
          4
          +y2=1得(1+4k2)x2+8
          2
          kx+4=0
          由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得△1=(8
          2
          )
          2
          k2
          -16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,
          即k2
          1
          4

          將y=kx+
          2
          代入
          x2
          3
          -y2=1得(1-3k2)x2-6
          2
          kx-9=0.
          由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B得
          1-3k2≠0
          2=(-6
          2
          k)
          2
          +36(1-3k2)=36(1-k2)>0.

          即k2
          1
          3
          且k2<1.②
          設(shè)A(xA,yA)B(xB,yB),則xA+xB=
          6
          2
          k
          1-3k2
          ,xA•xB=
          -9
          1-3k2

          OA
          OB
          <6得xAxB+yAyB<6,
          而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
          2
          )(kxB+
          2

          =(k2+1)xAxB+
          2
          (xA+xB)+2
          =(k2+1)•
          -9
          1-3k2
          +
          2
          k•
          6
          2
          k
          1-3k2
          +2
          =
          3k2+7
          3k2-1

          于是
          3k2+7
          3k2-1
          <6,即
          15k2-13
          3k2-1
          >0.
          解此不等式得k2
          13
          15
          或k2
          1
          3
          .③
          由①、②、③得
          1
          4
          <k2<或
          13
          15
          <k2<1.
          故k的取值范圍為(-1,-
          13
          15
          )∪(-
          3
          3
          ,-
          1
          2
          )∪(
          1
          2
          ,
          3
          3
          )∪(
          13
          15
          ,1).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          a2-1
          =1(a>1)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),一條直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為8.
          (1)求實(shí)數(shù)a的值;
          (2)若l的傾斜角為
          π
          4
          ,求|AB|的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率是
          2
          2
          ,A1,A2分別是橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn).點(diǎn)D是x軸上位于A2右側(cè)的一點(diǎn),且滿足
          1
          |A1D|
          +
          1
          |A2D|
          =
          2
          |FD|
          =2

          (1)求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (2)過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線n,再作直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,直線l交直線n于點(diǎn)Q.求證:以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          設(shè)F1、F2分別為橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)若橢圓上的點(diǎn)A(1,
          3
          2
          )到點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4,求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是(Ⅰ)中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1P的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          如圖:已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).
          (1)求p的值;
          (2)求△AOB的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          (a>b>0)的離心率e=
          6
          3
          ,短軸長(zhǎng)為2.
          (1)求橢圓的方程.
          (2)已知定點(diǎn)E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn).問(wèn):是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          直線l:y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
          (1)求a的取值范圍;
          (2)設(shè)交點(diǎn)為A,B,是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn),若存在就求出直線l的方程,若不存在則說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸且開(kāi)口向右的拋物線過(guò)點(diǎn)M(4,-4).
          (1)求拋物線的方程;
          (2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,若|AB|=8,求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          y軸上兩定點(diǎn)B1(0,b)、B2(0,-b),x軸上兩動(dòng)點(diǎn)M,N.P為B1M與B2N的交點(diǎn),點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)分別為XM、XN,且始終滿足XMXN=a2(a>b>0且為常數(shù)),試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案