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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. 如圖,已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率是
          2
          2
          ,A1,A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點,點F是橢圓C的右焦點.點D是x軸上位于A2右側(cè)的一點,且滿足
          1
          |A1D|
          +
          1
          |A2D|
          =
          2
          |FD|
          =2

          (1)求橢圓C的方程以及點D的坐標(biāo);
          (2)過點D作x軸的垂線n,再作直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P,直線l交直線n于點Q.求證:以線段PQ為直徑的圓恒過定點,并求出定點的坐標(biāo).
          (1)A1(-a,0),A2(a,0),F(xiàn)(c,0),設(shè)D(x,0),
          1
          |A1D|
          +
          1
          |A2D|
          =2
          1
          x+a
          +
          1
          x-a
          =2
          ,
          又|FD|=1,∴x-c=1,∴x=c+1,
          于是
          1
          c+1+a
          +
          1
          c+1-a
          =2
          ,
          ∴c+1=(c+1+a)(c+1-a),
          又∵
          c
          a
          =
          2
          2
          ⇒a=
          2
          c
          ,∴c+1=(c+1+
          2
          c)(c+1-
          2
          c)
          ,
          ∴c2-c=0,又c>0,∴c=1,
          a=
          2
          ,b=1

          ∴橢圓C:
          x2
          2
          +y2=1
          ,且D(2,0).
          (2)證明:∵Q(2,2k+m),設(shè)P(x0,y0),
          y=kx+m
          x2
          2
          +y2=1
          x2
          2
          +(kx+m)2=1
          ⇒x2+2(kx+m)2=2⇒(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,
          由于△=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0⇒2k2-m2+1=0⇒m2=2k2+1(*),
          而由韋達定理:2x0=
          -4km
          2k2+1
          ,
          x0=
          -2km
          2k2+1

          由(*)可得
          -2km
          m2
          =-
          2k
          m
          ,∴y0=kx0+m=-
          2k2
          m
          +m=
          1
          m
          ,∴P(-
          2k
          m
          ,
          1
          m
          )

          設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點M(x,y),
          MP
          MQ
          =0
          (x+
          2k
          m
          )(x-2)+(y-
          1
          m
          )(y-(2k+m))=0⇒x2+y2+(
          2k
          m
          -2)x+(2k+m+
          1
          m
          )y+(1-
          2k
          m
          )=0
          ,
          由對稱性知定點在x軸上,令y=0,取A時滿足上式,故過定點C.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點O,左頂點A(-2,0),離心率e=
          1
          2
          ,F(xiàn)為右焦點,過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點(不同于點A).
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)當(dāng)△APQ的面積S=
          18
          2
          7
          時,求直線PQ的方程;
          (Ⅲ)求
          OP
          FP
          的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          求經(jīng)過點P(-1,-6)與拋物線C:x2=4y只有一個公共點的直線l方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,橢圓C1
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b,b>0)和圓C2:x2+y2=b2,已知圓C2將橢圓Cl的長軸三等分,且圓C2的面積為π.橢圓Cl的下頂點為E,過坐標(biāo)原點O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B,直線EA、EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P、M.
          (Ⅰ)求橢圓C1的方程;
          (Ⅱ)(i)設(shè)PM的斜率為t,直線l斜率為K1,求
          K1
          t
          的值;
          (ii)求△EPM面積最大時直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

          點P在直線l:y=x-1上,若存在過P的直線交拋物線y=x2于A,B兩點,且
          PA
          =
          AB
          ,則稱點P為“λ點”,那么直線l上有______個“λ點”.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知平面內(nèi)一動點P到點F(2,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大2,
          (Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)過點F且斜率為2
          2
          的直線交軌跡C于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,P(x3,y3)(x3≥0)為軌跡C上一點,若
          OP
          =
          OA
          OB
          ,求λ的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,拋物線C上點M的橫坐標(biāo)為2,且|MF|=3.
          (1)求拋物線C的方程;
          (2)過焦點F作兩條相互垂直的直線,分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點,求四邊形MPNQ面積的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知橢圓C1的方程為
          x2
          4
          +y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
          (Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
          (Ⅱ)若直線l:y=kx+
          2
          與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點,且l與C2的兩個交點A和B滿足
          OA
          OB
          <6(其中O為原點),求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知雙曲線C:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          ,直線l:y=
          3
          (x-4)
          關(guān)于直線l1:y=
          b
          a
          x
          對稱的直線l′與x軸平行.
          (1)求雙曲線的離心率;
          (2)若點M(4,0)到雙曲線上的點P的最小距離等于1,求雙曲線的方程.

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          同步練習(xí)冊答案