Question

已知向量

m

=（2

3

sin

x

2

，2），

n

=（cos

x

2

，cos²

x

2

），f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+c）cosB+bcosC=0，若f（A）=

3

+1，求角C的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，進而利用周期公式求得函數(shù)最小正周期．
（Ⅱ）利用f（A）的值，求得A，進而利用正弦定理和已知等式化簡求得cosB的值，求得B，最后利用三角形內(nèi)角和求得C．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（

m

•

n

）=2

3

sin

x

2

•cos

x

2

+2cos²

x

2

=

3

sinx+cosx+1=2sin（x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

1

=2π，
函數(shù)f（x）的最小正周期2π．
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（A+

π

6

）+1=

3

+1，
∴2sin（A+

π

6

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

∴A+

π

6

=

π

3

或

2π

3

，
∴A=

π

6

或

π

2

．
∵（2a+c）cosB+bcosC=0，在△ABC中由正弦定理知：
（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB=-sin（B+C），
∴cosB=-

1

2

，
∴B=

2π

3

，
∵B為鈍角，
∴A=

π

6

，
∴C=π-

2π

3

-

π

6

=

π

6

．

點評：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦定理解三角形等問題．綜合性較強，對學生基礎知識掌握的要求高．