Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A為直角，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在直線AC上，斜邊中點(diǎn)為M（2，0）．
（1）求BC邊所在直線的方程；
（2）若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N（-2，0），且與Rt△ABC的外接圓相交所得公共弦長(zhǎng)為4，求動(dòng)圓P中半徑最小的圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）先求出AC邊所在直線的方程，再求出B，C的坐標(biāo)，即可求BC邊所在直線的方程；
（2）求出Rt△ABC外接圓的方程，設(shè)出動(dòng)圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由于⊙P與⊙M相交，則公共弦所在直線的方程m為：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0，利用公共弦長(zhǎng)為4，可得r=

(a+2)2+b2

=

4a2+4

，即可求動(dòng)圓P中半徑最小的圓方程．

解答： 解：（1）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為x-3y-6=0，AC與AB垂直，所以直線AC的斜率為-3．
故AC邊所在直線的方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
設(shè)C為（x₀，-3x₀-2），
因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，
所以B（4-x₀，3x₀+2）．
點(diǎn)B代入x-3y-6=0，解得x₀=-

4

5

，所以C（-

4

5

，

2

5

）．
所以BC所在直線方程為：x+7y-2=0．
（2）因?yàn)镽t△ABC斜邊中點(diǎn)為M（2，0），所以M為Rt△ABC外接圓的圓心．
又AM=2

2

，從而Rt△ABC外接圓的方程為（x-2）²+y²=8．
設(shè)P（a，b），因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N，所以該圓的半徑r=

(a+2)2+b2

，圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．
由于⊙P與⊙M相交，則公共弦所在直線的方程m為：（4-2a）x-2by+a²+b²-r²+4=0．
因?yàn)楣�共弦長(zhǎng)為4，r=2

2

，所以M（2，0）到m的距離d=2，即

|2(4-2a)+a2+b2-r2+4|

2 (2-a)2+b2

=2，
化簡(jiǎn)得b²=3a²-4a，所以r=

(a+2)2+b2

=

4a2+4

．
當(dāng)a=0時(shí)，r最小值為2，此時(shí)b=0，圓的方程為x²+y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與圓有關(guān)知識(shí)，考查圓與圓位置關(guān)系及弦長(zhǎng)的求法及函數(shù)最值求法．