Question

三角形ABC中，三內(nèi)角為A、B、C，

a

=（

3

cosA，sinA），

b

=（cosB，

3

sinB），

c

=（1，-1）．
（1）若

a

•

c

=1，求角A的大小；
（2）若

a

∥

b

，求當(dāng)A-B取最大時(shí)，A的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)

a

•

c

=1，得到cos（A+

π

6

）=

1

2

，然后，結(jié)合A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），從而確定A=

π

6

；
（2）根據(jù)

a

∥

b

，得到

3

cosA•

3

sinB=sinA•cosB，即tanA=3tanB，然后，再結(jié)合兩角差的正切公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）∵

a

•

c

=

3

cosA-sinA=2cos（A+

π

6

）=1，
∴cos（A+

π

6

）=

1

2

．
∵A∈（0，π），
則A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
則A+

π

6

=

π

3

，則A=

π

6

．
（2）∵

a

∥

b

，
∴

3

cosA•

3

sinB=sinA•cosB，
則tanA=3tanB．
由于A、B為三角形內(nèi)角，
則A、B只能均為銳角，即tanA＞0，tanB＞0．
tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanA•tanB

=

2tanB

1+3tan2B

=

2

1 tanB +3tanB

≤

2

2 3

=

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanB

=3tanB時(shí)，B=

π

6

取“=”號(hào)．
又A-B∈（-

π

2

，

π

2

），
則A-B的最大值為

π

6

，此時(shí)A=

π

3

．
∴當(dāng)A-B的最大時(shí)，A=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩角和差公式及已知三角函數(shù)值求角問(wèn)題；第二問(wèn)考查平面向量平行的條件及兩角差的正切公式，利用基本不等式求最值．