Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
（1）證明：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求展開式中有多少項(xiàng)有理項(xiàng)？（不必一一列出）

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）根據(jù)展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1，求得n=8，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出5r=8，且r∈Z，這是不可能的，命題得證．
（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅，再根據(jù)通項(xiàng)公式求得結(jié)果．
（3）若T_r+1為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

8-5r

2

為整數(shù)，而0≤r≤8，可得r的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可得，第五項(xiàng)系數(shù)為C_n⁴•（-2）⁴，第三項(xiàng)的系數(shù)為C_n²•（-2）²，
則

Cn4•(-2)4

Cn2(-2)2

=

10

1

，解得n=8（n=-3舍去）．
故通項(xiàng)公式T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r =C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

．
若T_r+1為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，這是不可能的，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)．
（2）展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₅=

C

4 8

•x^-6=1120x^-6．
（3）由T_r+1=C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

，若T_r+1為有理項(xiàng)，
當(dāng)且僅當(dāng)

8-5r

2

為整數(shù)，而0≤r≤8，故r=0，2，4，6，8，即展開式的有理項(xiàng)有5項(xiàng)．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．