Question

如圖：港口A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31n mile，該輪船從B處沿正西方向航行20n mile后到D處，測得CD為21n mile．
（1）求cos∠BDC；
（2）問此時輪船離港口A還有多遠？

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB；
（2）求sin∠CDB，由三角形的內角和定理可得sin∠ACD=sin（∠BDC-60°），再在△ACD中，由正弦定理知，

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，可求AD．

解答： 解：（1）由條件知∠A=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
在△BCD中，由余弦定理，得：cos∠BDC=

202+212-312

2×21×20

=-

1

7

；
（2）由（1）知sin∠BDC=

4 3

7

，
∴sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°
=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．
在△△ACD中，由正弦定理得：

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，
∴AD=

CDsin∠ACD

sin∠A

=15 n mile．
答：此時輪船離港口還有15 n mile．

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內角和定理在實際中的應用，解決實際的問題的關鍵是要把題目中所提供的數據轉化成數學圖形中的長度（角度），然后根據相應的公式來解決問題．