Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE．
（1）證明：AE是⊙O的切線；
（2）如果AB=4，AE=2，求CD．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段,圓內接多邊形的性質與判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接OA，根據(jù)角之間的互余關系可得∠OAE=∠DEA=90°，證明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切線；
（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，從而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割線定理，可得結論．

解答： （1）證明：連結OA，則OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，
又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE．
因為AE⊥CE，所以OA⊥AE．
所以AE是⊙O的切線．…（5分）
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
所以

AE

AD

=

AB

BD

，即

2

AD

=

4

BD

，則BD=2AD，
所以∠ABD=30°，從而∠DAE=30°，
所以DE=AEtan30°=

2 3

3

．
由切割線定理，得AE²=ED•EC，
所以4=

2 3

3

（

2 3

3

+CD），所以CD=

4 3

3

．…（10分）

點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．