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        1. 如果數(shù)列{an}同時滿足:(1)各項均為正數(shù),(2)存在常數(shù)k,對任意n∈N*,an+12=anan+2+k都成立,那么,這樣的數(shù)列{an}我們稱之為“類等比數(shù)列”.由此各項均為正數(shù)的等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列”.問:
          (1)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且k=(a2-a12,求證:a1、a2、a3成等差數(shù)列;
          (2)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且k=0,a2、a4、a5成等差數(shù)列,求
          a2
          a1
          的值;
          (3)若數(shù)列{an}為“類等比數(shù)列”,且a1=a,a2=b(a、b為常數(shù)),是否存在常數(shù)λ,使得an+an+2=λan+1對任意n∈N*都成立?若存在,求出λ;若不存在,說明理由.
          考點:類比推理
          專題:新定義,推理和證明
          分析:(1)由新定義可得,
          a
          2
          n+1
          =anan+2+(a2-a12,令n=1,注意到a1>0,化簡運用等差數(shù)列的定義即可證明;
          (2)運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì),即可求出公比;
          (3)可從必要條件入手推出:存在常數(shù)λ=
          a2+b2-k
          ab
          ,使an+an+2=λan+1,再加以證明,注意根據(jù)新定義,推出,當(dāng)n∈N*都有an+an+2=
          a1+a3
          a2
          an+1
          ,由a1,a2,得到a3,從而得到λ=
          a2+b2-k
          ab
          ,結(jié)論成立.
          解答: (1)證明:當(dāng)k=(a2-a1)2時,在
          a
          2
          n+1
          =anan+2+k
          中,令n=1得
          a
          2
          2
          =a1a3+(a2-a1)2
          ,
          a1a3-2a1a2+
          a
          2
          1
          =0

          ∵a1>0,∴a3-2a2+a1=0,即a2-a1=a3-a2
          故a1,a2,a3成等差數(shù)列;         
          (2)解:當(dāng)k=0時,
          a
          2
          n+1
          =anan+2

          ∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列,
           設(shè)公比為q(q>0),
          ∵a2,a4,a5成等差數(shù)列,∴a2+a5=2a4,
          a1q+a1q4=2a1q3.∵a1>0,q>0,
          ∴q3-2q2+1=0,(q-1)(q2-q-1)=0,
          解得q=1或q=
          5
          2
          (舍去負(fù)值).
          a2
          a1
          =q=1
          a2
          a1
          =q=
          1+
          5
          2
          ;
          (3)存在常數(shù)λ=
          a2+b2-k
          ab
          ,使an+an+2=λan+1
          (或從必要條件入手a1+a3a2⇒λ=
          a1+a3
          a2
          =
          a1+
          a22-k
          a1
          a2
          =
          a2+b2-k
          ab

          證明如下:∵
          a
          2
          n+1
          =anan+2+k
          ,∴
          a
          2
          n
          =an-1an+1+k,n≥2,n∈N*

          a
          2
          n+1
          -
          a
          2
          n
          =anan+2-an-1an+1
          ,即
          a
          2
          n+1
          +an-1an+1=anan+2+
          a
          2
          n

          由于an>0,此等式兩邊同除以anan+1,得
          an+an+2
          an+1
          =
          an-1+an+1
          an

          an+an+2
          an+1
          =
          an-1+an+1
          an
          =…=
          a1+a3
          a2
          ,
          即當(dāng)n∈N*都有an+an+2=
          a1+a3
          a2
          an+1

          a1=a,a2=b,
          a
          2
          n+1
          =anan+2+k
          ,∴a3=
          b2-k
          a

          a1+a3
          a2
          =
          a+
          b2-k
          a
          b
          =
          a2+b2-k
          ab

          ∴對任意n∈N*都有an+an+2=λan+1,
          此時λ=
          a2+b2-k
          ab
          點評:本題考查新定義及理解和運用,同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項和性質(zhì),正確理解定義是解決此類問題的關(guān)鍵.
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          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          某商品原價200元,若連續(xù)兩次漲價10%后出售,則新售價為( 。
          A、222元B、240元
          C、242元D、484元

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          甲、乙兩個鋼鐵廠2010年的年產(chǎn)量均為100萬噸,兩廠通過革新煉鋼技術(shù)、改善生產(chǎn)條件等措施,預(yù)計從2011年起,在今后10年內(nèi),甲廠的年產(chǎn)量每年都比上一年增加10萬噸;以2010年為第一年,乙廠第n(n∈N*,n≥2)年的年產(chǎn)量每年都比上一年增加2n-1萬噸.
          (Ⅰ)“十二•五”期間(即2011年至2015年),甲、乙兩個鋼鐵廠的累計鋼產(chǎn)量共多少萬噸?
          (Ⅱ)若某鋼廠的年產(chǎn)量首次超過另一鋼廠年產(chǎn)量的2倍,則該鋼廠于當(dāng)年底將另一鋼廠兼并,問:在今后10年內(nèi),其中一個鋼廠能否被另一個鋼廠兼并?若能,請推算出哪個鋼廠在哪一年底被兼并;若不能,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2(2cos2ωx-1)sin2ωx+cos(4ωx+
          π
          6
          ),ω∈(0,1),且函數(shù)有一個最高點(
          π
          6
          ,1).
          (1)求實數(shù)ω的值和函數(shù)f(x)的最小正周期;
          (2)求f(x)在[
          π
          12
          ,
          6
          ]上的最大值和最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD于點E,DA平分∠BDE.
          (1)證明:AE是⊙O的切線;
          (2)如果AB=4,AE=2,求CD.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知向量
          m
          =(cos
          x
          2
          ,-1),
          n
          =(
          3
          sin
          x
          2
          ,cos2
          x
          2
          ),設(shè)函數(shù)f(x)=
          m
          n
          +
          1
          2

          (1)若x∈[0,
          π
          2
          ],f(x)=
          3
          3
          ,求cosx的值;
          (2)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a,b,c,且滿足2acosB≤2c-
          3
          b.求f(A)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知(
          x
          -
          2
          x2
          n(n∈N*)的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10:1.
          (1)證明:展開式中沒有常數(shù)項;
          (2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;
          (3)求展開式中有多少項有理項?(不必一一列出)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          現(xiàn)有8個質(zhì)量和外形一樣的球,其中A1,A2,A3為紅球的編號,B1,B2,B3為黃球的編號,C1,C2為藍(lán)球的編號,從三種顏色的球中分別選出一個球,放到一個盒子內(nèi).
          (1)求紅球A1被選中的概率;
          (2)求黃球B1和藍(lán)球C1不全被選中的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          二次函數(shù)y=ax2的圖象是開口向上的拋物線,其焦點到準(zhǔn)線的距離為2,則a=
           

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