Question

設函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同的切線，求實數(shù)a，b的值；
（2）當a=1，b=0時，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]（t≥-2）上的最小值；
（3）當b=

1-a

2

時，若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，建立方程，即可求實數(shù)a，b的值；
（2）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），分類討論，即可得出函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值；
（3）求導數(shù)，確定h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，當且僅當

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）因為f（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx，
因為曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點（1，c）處有相同切線，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1）．
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

；
（2）當a=1，b=0時，h（x）=f（x）+g（x）=

1

3

x³-x-1
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
由于h（-2）=-

5

3

，h（1）=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．
①當-2≤t＜1時，[h（x）]_min=h（1）=-

5

3

；
③當t≥1時，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1；
綜上可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值為[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1)

；
（2）當a=1-2b時，h（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0），
所以h′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）．
令h′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0．
當x變化時，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）．
故h（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減．
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，當且僅當

h(-2)＜0 h(-1)＞0 h(0)＜0

 
即

- 8 3 +2(1-a)+2a-a＜0 - 1 3 + 1-a 2 +a-a＞0 -a＜0

解得0＜a＜

1

3

．
所以實數(shù)a的取值范圍是（0，

1

3

）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．