Question

某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：
f（t）=10-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24）
（Ⅰ）求實驗室這一天的最大溫差；
（Ⅱ）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)解析式為f（t）10-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得實驗室這一天的最大溫差．
（Ⅱ）由題意可得，當f（t）＞11時，需要降溫，由f（t）＞11，求得sin（

π

12

t+

π

3

）＜-

1

2

，即

7π

6

≤

π

12

t+

π

3

＜

11π

6

，解得t的范圍，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（t）=10-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t=10-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），
∴

π

3

≤

π

12

t+

π

3

＜

7π

3

，故當

π

12

t+

π

3

=

3π

2

時，及t=14時，函數(shù)取得最大值為10+2=12，
當

π

12

t+

π

3

=

π

2

時，即t=2時，函數(shù)取得最小值為10-2=8，
故實驗室這一天的最大溫差為12-8=4℃．
（Ⅱ）由題意可得，當f（t）＞11時，需要降溫，由（Ⅰ）可得f（t）=10-2sin（

π

12

t+

π

3

），
由10-2sin（

π

12

t+

π

3

）＞11，求得sin（

π

12

t+

π

3

）＜-

1

2

，即 

7π

6

≤

π

12

t+

π

3

＜

11π

6

，
解得10＜t＜18，即在10時到18時，需要降溫．

點評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，三角不等式的解法，屬于中檔題．