Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1+（1+a）x-x²-x³，其中a＞0．
（Ⅰ）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當x∈[0，1]時，求f（x）取得最大值和最小值時的x的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，討論兩根與1的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在[0，1]時的單調(diào)性，得出取最值時的x的取值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（-∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=

-1- 4+3a

3

，x₂=

-1+ 4+3a

3

，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜

-1- 4+3a

3

，x＞

-1+ 4+3a

3

；
由f′（x）＞0得

-1- 4+3a

3

＜x＜

-1+ 4+3a

3

；
故f（x）在（-∞，

-1- 4+3a

3

）和（

-1+ 4+3a

3

，+∞）單調(diào)遞減，
在（

-1- 4+3a

3

，

-1+ 4+3a

3

）上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）∵a＞0，∴x₁＜0，x₂＞0，
①當a≥4時，x₂≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值．
②當0＜a＜4時，x₂＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x₂]單調(diào)遞增，在[x₂，1]上單調(diào)遞減，
因此f（x）在x=x₂=

-1+ 4+3a

3

處取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴當0＜a＜1時，f（x）在x=1處取得最小值；
當a=1時，f（x）在x=0和x=1處取得最小值；
當1＜a＜4時，f（x）在x=0處取得最小值．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值的知識，考查學(xué)生分類討論思想的運用能力，屬中檔題．