Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

1

3

a_n≤a_n+1≤3a_n，n∈N^*，a₁=1．
（1）若a₂=2，a₃=x，a₄=9，求x的取值范圍；
（2）若{a_n}是等比數(shù)列，且a_m=

1

1000

，求正整數(shù)m的最小值，以及m取最小值時相應(yīng){a_n}的公比；
（3）若a₁，a₂，…a₁₀₀成等差數(shù)列，求數(shù)列a₁，a₂，…a₁₀₀的公差的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得：

1

3

a2≤a3≤3a2，

1

3

a3≤a4≤3a3，代入解出即可；
（2）設(shè)公比為q，由已知可得，an=qn-1，由于

1

3

a1≤a2≤3a1，可得

1

3

≤q≤3．而am=qm-1=

1

1000

，可得

1

3

≤q＜1，再利用對數(shù)的運算法則和性質(zhì)即可得出．
（3）設(shè)公差為d，由已知可得

1+(n-1)d

3

≤1+(n-1)d≤3[1+（n-2）d]，其中2≤n≤100，即

(2n-1)d≥-2 (2n-5)d≥-2

，解出即可．

解答： 解；（1）由題意可得：

1

3

a2≤a3≤3a2，∴

2

3

≤x≤6；
又

1

3

a3≤a4≤3a3，∴3≤x≤27．
綜上可得：3≤x≤6．
（2）設(shè)公比為q，由已知可得，an=qn-1，又

1

3

a1≤a2≤3a1，
∴

1

3

≤q≤3．因此am=qm-1=

1

1000

，
∴

1

3

≤q＜1，
∴m=1-log_q1000=1-

1

log1000q

=1-

3

lgq

≥1-

3

lg 1 3

=1+

3

lg3

≈7.28．
∴m的最小值是8，因此q⁷=

1

1000

，
∴q=(

1

1000

)

1

7

=10-

3

7

．
（3）設(shè)公差為d，由已知可得

1+(n-1)d

3

≤1+nd≤3[1+（n-1）d]
即

(2n+1)d≥-2 (2n-3)d≥-2

，
令n=1，得-

2

3

≤d≤2．
當2≤n≤99時，不等式即d≥

-2

2n+1

，d≥

-2

2n-3

．
∴d≥

-2

199

．
綜上可得：公差d的取值范圍是[-

2

199

，2]．

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、不等式的性質(zhì)、對數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．