Question

6．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境
    在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們“以三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖（1），在三角形紙片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）創(chuàng)新小組將圖（1）中的△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△DBE，再將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△AFG，連接DF，得到圖（2），則四邊形AFDE的形狀是平行四邊形．
（2）實(shí)踐小組將圖（1）中的△ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針逆轉(zhuǎn)90°，得到△DBE，再將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFG，連接DF、DG、AE，得到圖（3），發(fā)現(xiàn)四邊形AFDB為正方形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．
拓展探索
（3）請(qǐng)你在實(shí)踐小組操作的基礎(chǔ)上，再寫出圖（3）中的一個(gè)特殊四邊形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角度可求得DE∥AF，且DE=AF，可證明四邊形AFDE為平行四邊形，再由旋轉(zhuǎn)角是90°，即可得出結(jié)論；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)角度判斷出△ABE≌△DFG即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△DBE是由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，△AFG是由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的．
∴DE=AC=AF，∠BAF=α，∠DBE=∠ABC=α，∠DEB=∠C=α，
∴∠DEB=∠BAF，
∴DE∥AF，
∵DE=AF，
∴四邊形AFDE是平行四邊形，
故答案為：平行四邊形；
（2）證明：∵△DBE是由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，△AFG是由△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，
∴∠DBA=∠FAB=90°，DB=AB=AF，
∴∠DBA+∠FAB=180°，
∴DB∥AF，
∵DB=AF，
∴四邊形DBAF是平行四邊形，
∵∠DBA=90°
∴平行四邊形DBAF是正方形．
（3）四邊形AEDG是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABDF是正方形，
∴∠DFA=∠DBA=90°，AB=DF
又∵∠DBE=∠AFG=α，
∴∠EBA=∠GFD．
在△ABE和△DFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠EBA=∠GFD}\\{BE=GF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DFG，
∴AE=DG，
又∵DE=AG=AB，
∴四邊形DEAG是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，是一道中等難度的中考常考題．