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練習(xí)冊(cè)

練習(xí)冊(cè)
試題

南昌市2008-2009學(xué)年度高三測(cè)試卷數(shù)學(xué)（4）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1．(理)若集合，則（）.

A． B. C. D.

（文）設(shè)f：x→x²是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，3}，則A∩B等于（）.

A．{1}　　　B．　　　　C．或{1}　　　　D．或{3}

2.若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）.

A. B. C. D.

3．在等比數(shù)列{a_n}中，a₅、a₄、a₆成等差數(shù)列，則公比q等于（）

A．1或2 B．－1或－2 C．1或－2 D．－1或2

4．實(shí)數(shù)滿足則的值為（）.

A．6 B．6或-6 C．10 D．不確定

5.已知正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別是在AB₁、BC₁上，且AM=BN，下列四個(gè)結(jié)論：

①AA₁⊥MN；②A₁C₁//MN；③MN//平面ABCD；④MN、AC為異面直線，其中正確的結(jié)論為（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

6．若多項(xiàng)式，則的值為（）

A. －2009　　 B.　 2009　　C. －2008　　D. 2008

7．在100，101，102，…，999這些數(shù)中各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增（如“145”）或嚴(yán)格遞減（如 “321”）順序排列的數(shù)的個(gè)數(shù)是（）.

? A．120 B．168 C．204 D．2163

8．(理)對(duì)于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做的上確界，若a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的上確界為（）.

A． B． C． D．-4

（文）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)點(diǎn)滿足,則的最大值為（　�。�.

　　　　　　　　不存在

9. (理)如果隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ²),且Eξ=3,Dξ=4,則P（-1＜ξ≤1 )等于（）.

A.2Φ(1)-1 B.Φ(2)-Φ(1) C.Φ(1)-Φ(2) D.Φ(-2)-Φ(-1)

（文）設(shè).在右圖所示的正方形內(nèi)(包括邊界),整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為

整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是（）

10．（理）已知向量a=(1,1), b=(1,0), c滿足a? c=0且|a|=|c|, b?c>0，若映射

f:(x,y)→(x′,y′) =xa+yc，則在映射f下，向量(cosθ,sinθ)（其中θ∈R）的原象的模為（）.

A. B. 1 C. D.

（文）若，則的最大值是（）

（A）（B）（C）（D）

11．函數(shù)的圖象大致是（）

A． B． C． D．

12.（理）函數(shù)滿足：對(duì)一切

時(shí)，則（）

A． B． C． D．

（文）已知偶函數(shù)，則方程

的解的個(gè)數(shù)為（）

A．6 B．7 C．12 D．14

二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題目中的橫線上。）

13．（理）設(shè)a、b∈R,n∈N^*且a+2i=,則=_______.

(文) 函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d的部分?jǐn)?shù)值如下:

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

6

y

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

296

則函數(shù)y=lgf(x)的定義域?yàn)開(kāi)__________.

14．為了了解“預(yù)防禽流感疫苗”的使用情況，某市衛(wèi)生部門(mén)對(duì)本地區(qū)9月份至11月份使用疫苗的所有養(yǎng)雞場(chǎng)進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)下列圖表提供的信息，可以得出這三個(gè)月本地區(qū)每月注射了疫苗的雞的數(shù)量平均為萬(wàn)只．

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月份

養(yǎng)雞場(chǎng)（個(gè)數(shù)）

9

20

10

50

11

100

15.已知正四面體S―ABC中，點(diǎn)E為SA的中點(diǎn)，點(diǎn)F為△ABC的中心，則異面直線EF、AB所

成的角為 .

16．（理）已知m、n、s、t為正實(shí)數(shù)，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常數(shù)，且s＋t的最小值為，滿足條件的點(diǎn)(m，n)是橢圓＋＝1一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為 .

(文)已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)作與軸垂直的直線與橢圓相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線與軸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

三、解答題：（本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17、（本題滿分12分）

已知，將的圖象向左平移，再向上平移2個(gè)單位

后圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng).

（I）求實(shí)數(shù)a,并求出取得最大值時(shí)x的集合；

（II）求的最小正周期，并求在[上的值域.

18．（本小題滿分12分）

數(shù)列｛｝的前ｎ項(xiàng)和為，若＝.

（I）若數(shù)列｛+c｝成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值；

（II）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）數(shù)列｛｝中是否存在三項(xiàng),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由．

19.（本小題滿分12分）

（理）甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙袋中有5個(gè)白球和4個(gè)黑球，現(xiàn)在從甲、乙兩袋中各取出2個(gè)球。

（I）求取得的4個(gè)球均是白球的概率；

（II）求取得白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

(文) 美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)2008年全球金融動(dòng)蕩，波及中國(guó)兩大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之際“抄底”(在低位處買(mǎi)入)。若三人商定在圈定的10只股票中各自隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一只（假定購(gòu)買(mǎi)時(shí)每支股票的基本情況完全相同）。

（I）求甲、乙、丙三人恰好買(mǎi)到同一只股票的概率；

（II）求甲、乙、丙三人中至少有兩人買(mǎi)到同一只股票的概率；

20．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P―ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.

（I）證明:PA⊥平面ABCD；

（II）求二面角E-AC-D的大小；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？

證明你的結(jié)論.

21. （本小題滿分12分）F₁、F₂是雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線左支上，點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上，且滿足：。

（I）求此雙曲線的離心率；

（II）若此雙曲線過(guò)N（2，），求雙曲線方程；

（Ⅲ）若過(guò)N（2，）的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為B₁，B₂（B₁在y軸正半軸），點(diǎn)A、B在雙曲線上，且，求時(shí)，直線AB的方程。

22．（本題滿分14分）

（理科）已知函數(shù).

（I）的根，β是方程xe^x=2009的根，求αβ的值。

（II）求證：在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：≥．

（文科）已知函數(shù)f(x)＝4x³－3x²cosθ＋，其中x∈R，θ是參數(shù)，且0≤θ≤．

（I）當(dāng)cosθ＝0時(shí)，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

（II）要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

（Ⅲ）若對(duì)（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a－1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B

B

理D 文B

D

理D 文C

二．填空題

13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞). 14. 90.

15. ； 16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

三．解答題

17. 解：（I）平移以后得

，又關(guān)于對(duì)稱(chēng)

, ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，

所以，取得最大值時(shí)的集合為.…………6分

（II）的最小正周期為；，

，在[上的值域?yàn)?sub>.…………12分

18．解：（I）當(dāng)ｎ∈Ｎ時(shí)有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

兩式相減得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３�！　撤�

∴＋３＝２（＋３）。

又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

∴數(shù)列｛＋３｝是首項(xiàng)6，公比為2的等比數(shù)列．從而ｃ＝３．　　……６分

（II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列｛｝中是否存在三項(xiàng),,,(r<s<t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,

∵<<, ∴只能是＋＝２,

∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

即＋＝．∴１＋＝．　

　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均為正整數(shù)，∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列｛｝中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)．　　………12分

19. （理）解：設(shè)從甲袋中取出個(gè)白球的事件為，從乙袋中取出個(gè)白球的事件為其中＝0，1，2，則，.

（I）,,

所以………………………..6分

（II）分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19．（I）三人恰好買(mǎi)到同一只股票的概率。 ……4分

（II）解法一：三人中恰好有兩個(gè)買(mǎi)到同一只股票的概率.……9分

由（I）知，三人恰好買(mǎi)到同一只股票的概率為，所以三人中至少有兩人買(mǎi)到同一只股票的概率。 ……12分

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20.證明：（I）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB² 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的

平面角，設(shè)為.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而 ……………7分

解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、

z軸，過(guò)A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以設(shè)二面角E-AC-D的平面角為，并設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量是

得

平面ACD的一個(gè)法向量取，……………7分

（Ⅲ）解法一:設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，如上述方法建立坐標(biāo)系.

則

令 , 得

解得即時(shí)，

亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，、、共面.

又 BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC…………12分

(證法一) 取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE. ①

由知E是MD的中點(diǎn).

連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).

所以 BM//OE. ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

(證法二)因?yàn)?nbsp;

所以、、共面.又 BF平面ABC，從而B(niǎo)F//平面AEC. ……12分

21．解：（I）

由，又，

，

…… 4分

（II）

，其過(guò)點(diǎn)

…… 7分

（Ⅲ）由（2）知、，

、、

得

①當(dāng)。

②當(dāng)時(shí)，

又、

即

所以直線AB的方程為 …… 12分

22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點(diǎn)為A（α，），y=e^x與y=的交點(diǎn)為B（β，）；由K_AB= ―1，易知αβ=2009 …………4分

（Ⅱ）設(shè)=，則

∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù) 又∵

∴ ，即，

∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方 …9分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立；

當(dāng)時(shí)，

=

由已知， ∴ ≥

∴ ≥． ………………………………14分

（文科）解：（Ⅰ）當(dāng)cosθ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x³＋在R上遞增，故無(wú)極值. …3分

（Ⅱ）函數(shù)f^、(x)＝12x²－6xcosθ，令f^、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ

由于0≤θ≤及（1）結(jié)論，f_極小(x)＝f(cosθ)＝－cos³θ＋＞0，

∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)。…7分

（Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，

由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，

即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分

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